高考数学母题：三角数列.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(10-32):三角数列(225) 609 三角数列 [母题]Ⅰ(10-32):(2009年江西高考试题)数列{an}的通项an=n2(cos2-sin2),其前n项和为Sn,则S30为( ) (A)470 (B)490 (C)495 (D)510 [解析]:因an=n2(cos2-sin2)=n2cos(y=cos的最小正周期T=3)a3n-2+a3n-1+a3n=(3n-2)2cos(2nπ-)+ (3n-1)2cos(2nπ-)+(3n)2cos2nπ=(3n-2)2(-)+(3n-1)2(-)+(3n)2=9n-S30=9-×10=470.故选(A). [点评]:以三角函数为背景的数列称为三角数列;三角数列有三个层次问题:①数列{xn}:xn=f(n)sinan或xn=f(n)cosan (其中{an}是等差数列)的求和问题;②数列{xn}:xn=sinan或xn=cosan(其中{an}是等差数列)的求和问题;③三角换元型. [子题](1):(2012年福建高考试题)(文)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于 . [解析]:由y=cos的最小正周期T=4,a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n=(4n-3)cos(2nπ-)+(4n-2)cos(2nπ-π)+(4n-1)cos(2nπ-)+4ncos2nπ=(4n-3)×0+(4n-2)(-1)+(4n-1)×0+4n=2S2012=2×503=1006. 注:求数列{xn}:xn=f(n)sinan或xn=f(n)cosan的前n项和,首先求sinan或cosan的最小正周期T,然后计算aTn-(t-1)+aTn-(T-2)+ …+aTn,最后利用分段求和法求和. [子题](2):(2012年上海高考试题)(文)若Sn=sin+sin+…+sin(n∈N+),则在S1,S2,…,S100中,正数的个数是( ) (A)16 (B)72 (C)86 (D)100 [解析]:由cos(-)-cos(+)=2sinsinsin=[cos-cos]Sn= [cos-cos]0coscos2kπ+2kπ+2π-14kn14k+13,计86个.故选(C). 注:灵活利用三角的积化和差公式,是构造三角裂项式的关键. [子题](3):(2010年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)若数列{an}满足:a10,an=(n≥2),且具有最小正周期2010,则a1= . [解析]:设a1=tanα,由a2==tan2α…an=tannα,由最小正周期T==2010α=a1=tan. 注:灵活利用三角公式的模型结构,是三角换元的关键. [子题系列]: 1.(2012年福建高考试题)(理)数列{an}的通项公式an=ncos+1,前n项和为Sn,则S2012= . 2.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)数列{an}的前n项和Sn=n2(n∈N+),则an= ,cos2an-1+ 610 [母题]Ⅰ(10-32):三角数列(225) cos2an+cos2an+1= . 3.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若x∈R,an=cos(x+nπ,则a0+a1+…+a6的值( ) (A)比1大 (B)比1小 (C)等于1 (D)是零 4.(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设A=+++…+,B=+ ++…+,则= . 5.(2011年全国高中数学联赛广东初赛试题)计算:++…+=