高考数学母题：分式变换法.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(11-15):分式变换法(250) 673 分式变换法 [母题]Ⅰ(11-15):(2013年山东高考试题)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+ -的最大值为( ) (A)0 (B)1 (C) (D)3 [解析]:由x2-3xy+4y2-z=0==≤=1,等号成立的条件:x=2yz=2y2+-= -()2+2=-(-1)2+1当y=1时,+-取得最大值1.故选(B). [点评]:利用均值不等式,求分式函数的最值包含两个应掌握的解题技法:①如果求最小值,则应把所求函数式分拆为两式之和,且满足这两式之积为常数;②如果求最大值,则应把所求函数式变形为分子是常数,分母为两式之和,且满足这两式之积为常数. [子题](1):(2007年全国Ⅰ高考试题)当0x时,函数f(x)=的最小值为( ) (A)2 (B)2 (C)4 (D)4 [解析]:因所求为最小值,应把函数式分拆为两式之和,且满足这两式之积为常数;由f(x)== =cotx+4tanx(由0xcotx0,tanx0)≥2=4,当且仅当cotx=4tanx,即tanx=时,等号成立.故选(C). 注:本题是在“因所求为最小值,应把函数式分拆为两式之和,且满足这两式之积为常数”的指导下,寻找的解过程. [子题](2):(2007年宁夏、海南高考试题)己知x0,y0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 [解析]:由x,a,b,y成等差数列a+b=x+y;由x,c,d,y成等比数列cd=xy==++2≥4,当且仅当x=y,即a=b=c=d时,等号成立.故选(D). 注:本题是以数列为载体的最小值问题,分拆法在这里仍显奇效. [子题](3):(2003年全国高中数学联赛试题)已知x,y都在区间(－2,2)内,且xy＝－1,则函数u=+的最小值是 . [解析]:由xy=-1y=-,又由y∈(-2,2)x∈(-2,-)∪(,2),且u=+=+== 1+=1+;当且仅当9x2=,即x=时等号成立当x=时,u取得最小值. 注:解答源自于“如果求最大值,则应把所求函数式变形为分子是常数,分母为两式之和,且满足这两式之积为常数”. [子题系列]: 674 [母题]Ⅰ(11-15):分式变换法(250) 1.(2004年湖北高考试题)己知x≥,则f(x)=有( ) (A)最大值 (B)最小值 (C)最大值1 (D)最小值1 2.(2011年湖南高考试题)设x,y∈R,则(x2+)(+4y2)的最小值为 . 3.(2013年全国高中数学联赛山东预赛试题)已知正数a,b,c满足4a+b=abc,则a+b+c的最小值是 . 4.(2013年全国高中数学联赛福建预赛试题)已知实数x,y满足xy+1=4x+y,且x1,则(x+1)(y+2)的最小值为 . 5.(2008年江苏高考试题)设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是 . 6.(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知ab,ab=1,则的最小值是 . 7.(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若x,y0,且x+2y=1,则(x+)(y+)的最小值是 . 8.(2007年江苏高考试题)己知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为(x),(0)0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为( )