高考数学母题：三角形的射影定理 .docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-39):三角形的射影定理(739) 0085 三角形的射影定理 [母题]Ⅱ(一-39):(《必修5》(人教版)P21练习第3题):在△ABC中,求证:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC, c=acosB+bcosA. [解析]:在△ABC中,由sinA=sin(B+C)sinA=sinBcosC+cosBsinC(由正弦定理)a=bcosC+ccosB;同理可证其它. [点评]:以上结论称为射影定理,射影定理中的三个公式轮换对称结构优美、简单明了.在人教A版必修5中,编者以习题的形式让三角形射影定理公式崭露头角.很多有关三角形边角关系的高考试题,若能把射影定理恰到好处地加以灵活运用,往往比用正弦定理或余弦定理更加快速简捷,可起到简化运算过程取得事半功倍的神奇效果. [子题](1):(2012年安徽高考试题)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且有2sinBcosA=sinAcosC+ cosAsinC.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长. [解析]:(Ⅰ)由2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC2bcosA=acosC+ccosA2bcosA=bcosA=A=; (Ⅱ)取AC的中点E,则AE=b=1,DE=c=,DE∥AB∠AED=π-∠BAC=;在△ADE中,由余弦定理:AD2=12+()2-2×1×cos=AD=. 注:本题是递进型试题,即第(Ⅰ)问是第(Ⅱ)问的基础,对第(Ⅰ)问,也可以逆用两角和的正弦公式求解,但没有运用射影定理整体代入求解来得“爽快”. [子题](2):(2012年课标高考试题)已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边,acosC+asinC-b-c=0. (Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b、c. [解析]:(Ⅰ)由acosC+ccosA=b及已知acosC+asinC-b-c=0asinC-c=ccosAsinAsinC-sinC=sinCcosA sinA-1=cosAsin(A-)=A=; (Ⅱ)由S△ABC=bcsinA=bc=4;又由a2=b2+c2-2bccosAb2+c2=8b=c=2. 注:本题的难点在第(Ⅰ)问,利用射影定理巧妙化解.由已知式中含有“acosC”,想到射影定理:acosC+ccosA=b;这种模式识别是活用射影定理的常用方法. [子题](3):(2011年山东高考试题)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知=. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S. [解析]:(Ⅰ)由=bcosA-2bcosC=2ccosB-acosBacosB+bcosA=2(bcosC+ccosB)c=2a=2; (Ⅱ)由b2=a2+c2-2accosB4=a2+4a2-a2a=1,c=2;又由cosB=sinB=S=. 注:本题利用射影定理构题的痕迹明显.由此可见射影定理在高考命题者心目中的位置. [子题系列]: 1.(2012年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明: 0086 [母题]Ⅱ(一-39):三角形的射影定理(739) (Ⅰ)bcosC+ccosB=a;(Ⅱ)=. 2.(2011年江西高考试题)在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC. (Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若a=1,cosB+cosC=,求边c的值. 3.(2013年课标Ⅱ高考试题)设△ABC在内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值. 4.(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+c=b. (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若a=1,求△ABC内切圆半径r的最大值. 5.(2008年全国Ⅰ高考试题)设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且acosB-bcosA=c.