高考数学母题：公垂线与异面直线的距离.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 公垂线与异面直线的距离 立体几何中的基本问题之五 异面直线的距离与其公垂线密切相关,证明公垂线和求异面直线的距离均是高考的命题点,求异面直线的距离是立体几何的一个难点. [母题结构]:建立异面直线模型,并探索求异面直线距离的方法. [母题解析]:长方体ABCD-A1B1C1D1是异面直线AB与B1D1的绝佳模型,∠ABD是异面直线AB 与B1D1的成角,异面直线AB与B1D1的距离=长方体的高AA1;求异面直线距离的方法多样,可分 为综合法与向量法,本母题关注综合法,综合法包括:公垂线段法和性质转移法. 1.证明公垂线 子题类型Ⅰ:(2003年全国高考试题)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1的中点, 点F为BD1的中点.(Ⅰ)证明:EF为BD1与CC1的公垂线; (Ⅱ)求点D1到面BDE的距离. [解析]:(Ⅰ)取BD中点M,由F为BD1中点FM∥D1D且FM=EC=,且EC⊥MC四边形EFMC是矩形EF⊥CC1;又CM⊥面DBD1EF⊥面DBD1EF⊥BD1EF为BD1与CC1的公垂线;(Ⅱ)由V=Vd=. [点评]:证明直线m是直线a与b的公垂线,必须分别证明m⊥a,m⊥b;充分利用中点是证明公垂线的有力方法. 2.基本公式 子题类型Ⅱ:(1992年全国高考试题)已知两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段 AA1的长度为d.在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.求证:EF=. [解析]:如图,设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥ab,c所成的角等于θ,且AA1⊥c, AA1⊥αβ⊥α;作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1,EG⊥αEG⊥FGEF2=EG2+FG2,在△AFG中,FG2=m2+n2-2mncosθEF2=d2+ m2+n2-2mncosθ;如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则EF2=d2+m2+n2+2mncosθEF=. [点评]:在本题中,设EF=a,则d=,该式是异面直线距离的基本公式之一. 3.构造商函数 子题类型Ⅲ:(2012年重庆高考试题)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点. (Ⅰ)求异面直线CC1和AB的距离; (Ⅱ)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-B1的平面角的余弦值. [解析]:(Ⅰ)由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱CC1⊥底面ABCCC1⊥CD;在△ABC中,由AC=BCCD⊥ABCD是异面直线CC1与AB的公垂线段;由AB=4,AC=BC=3CD=异面直线CC1和AB的距离=; (Ⅱ)由CD⊥AB,CD⊥BB1CD⊥面A1ABB1CD⊥DA1,CD⊥DB1∠A1DB1为所求的二面角A1-CD-B1的平面角;由AB1⊥CD,AB1⊥A1CAB1⊥平面A1CDAB1⊥A1DRt△A1AD∽Rt△B1A1AAA1=2A1D=B1D=2cos∠A1DB1=. [点评]:公垂线段法的关键作出公垂线,再求其长;性质转移法包括:①线面平行法;②面面平行法;③射影转移法. 4.子题系列: 1.(2010年四川高考试题)在正方体ABCD-中,点M是棱A的中点,点O是对角线B 的中点.(Ⅰ)求证:OM为异面直线A和B的公垂线;(Ⅱ)求二面角M-B-的余弦值. 2.(2010年全国Ⅱ高考试题)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E 为AB1上的一点,AE=3EB1.(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线; (Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为450,求二面角A1-AC1-B1的正切值. 3.(1992年全国高中数学联赛试题)设l,m是两条异面直线,在l上有A,B,C三点,且AB=BC,过A,B,C分别作m的垂线AD, BE,CF,垂足依次是D,E,F,已知AD=,BE=,CF=,求l与m的距离. 4.(1999年全国高考试题)如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC 与底面ABCD所成的角为450,AB=a.(Ⅰ)求截面EAC的面积; (Ⅱ)求异面直线A1B1与AC之间的距离;(Ⅲ)求三棱B1-EAC的体积. 5.(2009年华南理工大学保送生考试试题)如图,在正三棱锥P-ABC中,侧棱长为3,底面边长为2, E为BC的中点,EF⊥PA于F.(Ⅰ)求证:EF为异面直线PA与BC的公垂线; (Ⅱ)求异面直线PA与BC的距离;(Ⅲ)求点B到平面APC的距离. 6.(2007年重庆高考试题)如图,在直