高考数学母题：球的截面.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-38):球的截面(352) 909 球的截面 OMNEAB [母题]Ⅰ(14-38):(2010年大纲Ⅱ O M N E A B 圆N为该球的两个小圈,AB为圆M与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离 MN= . [解析]:由球半径为4,OM=3圆M的半径=,同理可得:圆N的半径=;取AB的中 点E,则ME⊥AB,NE⊥AB;由AB=4AE=2ME=,同理可得:NE=;在直角三角形OEM 中,tan∠eom==∠eom=∠Nom=ΔMON是正三角形MN=3. [点评]:球的截面问题是球的基本问题,与圆类比可建立球的截面问题的两个母题模型如下: 项目 圆 球 模型Ⅰ 直线与圆相交,截得弦. 直线过圆心时,直线截圆所得的弦最大,是圆的直径; 1.当等腰三角形的底边在其外接圆的最大弦上时,等腰三角形的底边上的高是其外接圆的半径; 2.当等腰三角形的底边上的高等于其外接 圆的半径时,底边在其外接圆的直径上. 平面与球相交,截得圆. 平面过球心时平面截球所得的圆最大,称为球的大圆. 1.当各侧棱相等的棱锥的底面在其外接球的大圆上时,棱锥的高等于其外接球的半径; 2.当各侧棱相等的棱锥的高等于其外接 球的半径时,底面在其外接球的大圆上. 模型 Ⅱ 直线不过圆心时,有垂径定理: 1.过弦的中点和圆心的直线垂直于弦;过圆心且垂直于弦的直线过弦的中点; 2.公式:如果圆的半径为R,弦长为 2r,圆心到弦的距离为d,则d2+r2=R2. 平面不过球心时,有基本定理: 1.过截面圆心和球心的直线垂直于截面;过球心且垂直于截面的直线过截面圆的圆心; 2.公式:如果球的半径为R,截面圆的半径 为r,球心到截面的距离为d,则d2+r2=R2. [子题](1):(2007年宁夏、海南高考试题)己知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个 半径为R的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,AC=R,则球的体积与三棱锥体积 之比是( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)4π [解析]:如图,三棱锥P-ABC的高h=OS=R,在底面△ABC中,AC⊥BC,由AC=RBC= RS△ABC=AC×BC=R2VS_ABC=S△ABC×h=R3V球:VS-ABC=πR3:R3=4π.故选(D). 注:模型Ⅰ的问题就是关于截面过球心,即球的大圆问题.特别的是正棱锥的底面过球心的模型Ⅰ的问题,除掌握模型Ⅰ中的有关结论外,还应理解:底面多边形的外接圆半径是球的半径. [子题](2):(2011年大纲高考试题)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与 α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球的半径为4,M的面积为4π,圆N的 面积为( ) (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π [解析]:如图,由圆M的面积为4π圆M的半径MA=2OM=2;在RtΔONM中, ∠OMN=300ON=圆N的半径r=圆N的面积=13π.故选(D). 注:模型Ⅱ的问题,即截面不过球心的情况,要重点关注三个量:一是球的半径,二是截面圆的半径,三是球心到截面(既球心与截面圆的圆心)的距离.然后根据r2+d2=R2,由其二,求其三. [子题](3):(2004福建高考试题)如图,A、B、C是表面积为48π的球面上三点,AB=2,BC=4,∠ABC=600,O为球心,则 直线OA与截面ABC所成角的余弦值为( ) 910 [母题]Ⅰ(14-38):球的截面(352) (A) (B) (C) (D) [解析]:由球的表面积=48π球的半径OA=2;在ΔABC中,由AB=2,BC=4,∠ABC= 600AC=22r==4ΔABC的外接圆半径r=2直线OA与截面ABC所成角的余弦值==.故选(B). 注:模型Ⅱ的引伸可以通过隐含公式r2+d2=R2中的r与d进行,如球面上三点的问题是模型Ⅱ的引伸,解