高考数学母题：球的模型.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-39):球的模型(353) 913 球的模型 [母题]Ⅰ(14-39):(2007年辽宁高考试题)若一个底面边长为, 侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 . [解析]:如图,由正六边形的边长等于其外接圆半径AD=2AB=正六棱柱 的外接球直经2R=ADˊ=2R=V球=4π. [点评]:球与长方体、正棱柱等的结合问题是球的典型问题,与圆类比可建立球的两个母题模型如下: 项目 圆 球 模型Ⅲ 1.任何长方形都有唯一的外接圆,长方形对角线的交点为其外接圆的圆心; 2.长方形对角线为其外接圆的直径;如果长方形的长、宽分别为a、b,则其外接圆半径r= .特别地边长为a的正方形外接圆的半径r=a. 3.以长方形的四个顶点为顶点的三角形的外接圆与矩形的外接圆相同. 1.任何长方体都有唯一的外接球,长方体对角线的交点为其外接球的球心; 2.长方体对角线为其外接球的直径,如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则其接球的半径R= .特别地棱长为a的正方体外接球的半径R=a. 3.以长方体的八个顶点为顶点的多面体的外接球与长方体的外接球相同. 模型Ⅳ 1.任何正2n边形都有唯一的外接圆,正2n边形最长对角线的交点为其外接圆的圆心; 2.正2n边形最长对角线为其外接圆的直径. 1.任何正2n棱柱都有唯一的外接球,正2n棱柱最长对角线的交点为其外接球的球心; 2.正2n棱柱最长对角线为其外接球的直径. [子题](1):(2011年湖北高考试题)设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是( ) (A)V1比V2大约多一半 (B)V1比V2大约多两倍半 (C)V1比V2大约多一倍 (D)V1比V2大约多一倍半 [解析]:设正方体的棱长为a,则外接球的半径R=aV1=πR3= πa3,V2=a3=π≈2.6.故选(B). 注:棱长为a的正方体外接球的半径R=a.该结论具有理解记忆价值. [子题](2):(2006年湖南高考试题)棱长为2的正四面体的4个顶点都在同一球面上, 若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:把正四面体ABCD补形为正方体,如图, 则正四面体ABCD的外接球球心也是正方体的中心O,且正方体的棱长=过A、B、O三 点的截面为△ABF,其中,EF=正方体的棱长=△ABF面积=.故选(B). 914 [母题]Ⅰ(14-39):球的模型(353) 注:棱长为a的正四面体的外接球半径R=a.该结论具有理解记忆价值. [子题](3):(2008年浙江高考试题)如图,己知球O的面上四点A、B、C、D, DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于 . [解析]:把四面体ABCD补形为长方体,则四面体ABCD的外接球与长方体的外接球相同;由DA=AB=BC=该长方体是棱长为的正方体球O的半径R=a=球O的体积V=. 注:因以长方体的八个顶点为顶点的多面体的外接球与长方体的外接球相同,所以,把特殊的四面体放置到长方体(含正方体)中是求解这些四面体外接球问题的绝巧. [子题系列]: 1.(2006年广东高考试题)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积是 . 2.(1995年全国高考试题)正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( ) (A)a2 (B)a2 (C)2πa2 (D)3πa2 3.(2001年北京、内蒙古、安徽春招试题)己知球内接正方体的表面积为S,那么球体积等于 . 4.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)正方体与其外接球的体积之比是 . 5.(2006年福建高考试题)己知正方体外接球的体积是π