高考数学母题：球的截面基本结论的应用.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 301 [中国高考数学母题](第098号) 球的截面.基本结论的应用 平面与球相交,平面被球截得圆;球的截面问题是球的基本问题,与圆类比可建立球的截面的基本结论;利用基本结论,可妙解一类高考试题. [母题结构]:如果球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d,则d2+r2=R2. [母题解析]:略. 1.特殊截面 子题类型Ⅰ:(2007年宁夏、海南高考试题)己知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个 半径为R的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,AC=R,则球的体积与三棱锥体积 之比是( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)4π [解析]:如图,三棱锥P-ABC的高h=OS=R,在底面△ABC中,AC⊥BC,由AC=RBC=RS△ABC=AC×BC=R2VS_ABC= S△ABC×h=R3V球:VS-ABC=πR3:R3=4π.故选(D). [点评]:特殊截面就是截面过球心,即球的大圆.特别的是正棱锥的底面过球心的特殊截面问题,应理解:底面多边形的外接圆半径是球的半径;当各侧棱相等的棱锥的底面在其外接球的大圆上时,棱锥的高等于其外接球的半径. [同类试题]: 1.(2007年陕西高考试题)己知正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积为( ) (A) (B) (C) (D) 2.(2006年四川高考试题)如图,正四棱锥P-ABCD的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上, 点P在球面上.如果VP-ABCD=.则球O的表面积是( ) (A)4π (B)8π (C)12π (D)16π 2.基本结论 子题类型Ⅱ:(2011年大纲高考试题)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与 α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球的半径为4,M的面积为4π,圆N的 面积为( ) (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π [解析]:如图,由圆M的面积为4π圆M的半径MA=2OM=2;在RtΔONM中,∠OMN=300ON=圆N的半径r=圆N的面积=13π.故选(D). [点评]:截面不过球心的情况,要重点关注三个量:一是球的半径,二是截面圆的半径,三是球心到截面(既球心与截面圆的圆心)的距离.然后根据r2+d2=R2,由其二,求其三. [同类试题]: 3.(2006年全国Ⅱ的高考试题)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积之比为( ) (A) (B) (C) (D) 4.(1989年全国高考试题)己知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,则这个球的半径是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)5 3.结论引伸 子题类型Ⅲ:(2004福建高考试题)如图,A、B、C是表面积为48π的球面上三点,AB=2,BC=4,∠ABC=600,O为球心,则 直线OA与截面ABC所成角的余弦值为( ) 302 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 (A) (B) (C) (D) [解析]:由球的表面积=48π球的半径OA=2;在ΔABC中,由AB=2,BC=4,∠ABC=600AC= 22r==4ΔABC的外接圆半径r=2直线OA与截面ABC所成角的余弦值==. 故选(B). [点评]:基本结论的引伸可以通过隐含公式r2+d2=R2中的r与d进行,如球面上三点的问题是基本结论的引伸,解决此类问题的关键是,求球面上三点构成的三角形外接圆半径r,然后利用基本结论解决问题. [同类试题]: 5.(2004年全国Ⅳ高考试题)己知球的表面积为20π,球面上有A、B、C三点,如果AB=AC=2,BC=2,则球心到平面ABC的距离为( )