高考数学母题：球的性质三类特殊的问题.docVIP

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 557 [中国高考数学母题](第151号) 球的性质.三类特殊的问题 与圆类比可建立球三类特殊问题:“球中的弦、相切问题(内切球和两球相切和旋转体与球)”的母题,由此,可站在一个恰当的高度,去俯视这三类特殊问题. [母题结构]:(Ⅰ)(球中的弦)①如果球O的半径为R,一弦长为2m,球心到弦的距离为d,则d2+m2=R2;②弦长为定值的动弦中点的轨迹是一个球,且弦都是该球的切线; (Ⅱ)(相切问题)㈠定义:与多面体各面均相切的球叫做多面体的内切球;性质:①任意四面体都有唯一的内切球,内切球球心到各面的距离相等,等于内切球的半径;②内切球的半径等于四面体体积的三倍除表面积;㈡①两球外切,切点在两球球心的连线上,且球心距等于两球半径之和;②两球内切,切点在两球球心的连线上,且球心距等于两球半径之差的绝对值; (Ⅲ)(旋转体与球)球是特殊的旋转体,旋转体与球的结合是自然的,基本问题类型有:一是球的内接旋转体问题;二是旋转体内置球问题;解题关键是通过轴截面,把立体问题转化为平面问题. [母题解析]:略. 1.球中的弦 子题类型Ⅰ:(2008年江西高考理科试题)连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:①弦AB、CD可能相交于点M;②弦AB、CD可能相交于点N;③MN的最大值为5;④MN的最小值为1.其中真命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 [解析]:设球的球心为O,则OM=3,ON=2MN的最大值为5,最小值为1③④正确;若弦AB、CD相交于点N,由OM⊥AB,在RtΔONM中,斜边ON=2,直角边OM=3,矛盾②错误,①正确.故选(C). [点评]:如果球O的两弦AB、CD相交于H,M、N分别为AB、CD的中点,则此两弦是球O上一圆O1的弦,四边形O1MHN是矩形,且当此圆O1的半径为r,球心到该圆面的距离OO1=d时,则r2+d2=R2;在四面体ABCD中,若AB与CD的夹角为α,距离为d,则四面体ABCD的体积V=ABCDsinαd. [同类试题]: 1.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值( ) (A) (B) (C)2 (D) 2.(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)如图,已知MN是半径为4的球O的直径,点A和C在球面上,且AB⊥MN于点B,CD⊥MN于点D,∠AOB=∠COD=300.若平面MAN与平面MCN所成 的角为600,则线段AC的长为 . 2.相切问题 子题类型Ⅱ:(2006年江西高考试题)如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内 切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积 相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是S1,S2,则必有( ) (A)S1?S2 (B)S1?S2 (C)S1=S2 (D)S1,S2的大小关系不能确定 [解析]:连OA、OB、OC、OD,则VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-AFD+VO-BEFD,VA－EFC=VO-AFC+VO-AEC+VO-EFC;又VA-BEFD=VA-EFC,而每个棱锥的高都是原四面体的内切球的半径SΔABD+SΔABE+SΔAFD+S四边形BEFD=SΔAFC+SΔAEC+SΔEFC,又ΔAEF公共面S1=S2.故选(C). [点评]:多面体的内切球问题是球的基本问题,与圆类比可建立内切球的母题模型;球与球相切问题通常是由几个球两两相切叠放起来构成的,因此可转化为两球相切,与圆类比可建立两球相切的母题模型. [同类试题]: 558 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题 3.(2006年山东高考试题)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) (A)1: (B)1:3 (C)1:3 (D)1:9 4.(2008年重庆高考试题)如图