高考数学母题：球的截面模型.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 球的截面模型 球的截面问题的基本结论 平面与球相交可得球的截面模型,球的截面问题是球的基本问题,与圆类比可建立球的截面问题的两个母题模型如下. [母题结构]: 项目 圆 球 模型Ⅰ 直线与圆相交,截得弦. 直线过圆心时,直线截圆所得的弦最大,是圆的直径; 1.当等腰三角形的底边在其外接圆的最大弦上时,等腰三角形的底边上的高是其外接圆的半径; 2.当等腰三角形的底边上的高等于其外接 圆的半径时,底边在其外接圆的直径上. 平面与球相交,截得圆. 平面过球心时平面截球所得的圆最大,称为球的大圆. 1.当各侧棱相等的棱锥的底面在其外接球的大圆上时,棱锥的高等于其外接球的半径; 2.当各侧棱相等的棱锥的高等于其外接 球的半径时,底面在其外接球的大圆上. 模型 Ⅱ 直线不过圆心时,有垂径定理: 1.过弦的中点和圆心的直线垂直于弦;过圆心且垂直于弦的直线过弦的中点; 2.公式:如果圆的半径为R,弦长为 2r,圆心到弦的距离为d,则d2+r2=R2. 平面不过球心时,有基本定理: 1.过截面圆心和球心的直线垂直于截面;过球心且垂直于截面的直线过截面圆的圆心; 2.公式:如果球的半径为R,截面圆的半径 为r,球心到截面的距离为d,则d2+r2=R2. [解题程序]:与圆类比建立的球的截面问题的两个母题模型中的基本结论均显然成立. 1.模型Ⅰ的问题 子题类型Ⅰ:(2007年宁夏、海南高考试题)己知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个 半径为R的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面ABC,AC=R,则球的体积与三棱锥体积 之比是( ) (A)π (B)2π (C)3π (D)4π [解析]:如图,三棱锥P-ABC的高h=OS=R,在底面△ABC中,AC⊥BC,由AC=RBC=RS△ABC=AC×BC=R2VS_ABC= S△ABC×h=R3V球:VS-ABC=πR3:R3=4π.故选(D). [点评]:模型Ⅰ的问题就是关于截面过球心,即球的大圆问题.特别的是正棱锥的底面过球心的模型Ⅰ的问题,除掌握模型Ⅰ中的有关结论外,还应理解:底面多边形的外接圆半径是球的半径. 2.模型Ⅱ的问题 子题类型Ⅱ:(2011年大纲高考试题)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与 α成600二面角的平面β截该球面得圆N.若该球的半径为4,M的面积为4π,圆N的 面积为( ) (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π [解析]:如图,由圆M的面积为4π圆M的半径MA=2OM=2;在RtΔONM中,∠OMN=300ON=圆N的半径r=圆N的面积=13π.故选(D). [点评]:模型Ⅱ的问题,即截面不过球心的情况,要重点关注三个量:一是球的半径,二是截面圆的半径,三是球心到截面(既球心与截面圆的圆心)的距离.然后根据r2+d2=R2,由其二,求其三. 3.模型Ⅱ的引伸 子题类型Ⅲ:(2004福建高考试题)如图,A、B、C是表面积为48π的球面上三点,AB=2,BC=4,∠ABC=600,O为球心,则 直线OA与截面ABC所成角的余弦值为( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:由球的表面积=48π球的半径OA=2;在ΔABC中,由AB=2,BC=4,∠ABC=600AC= 22r==4ΔABC的外接圆半径r=2直线OA与截面ABC所成角的余弦值==. 故选(B). [点评]:模型Ⅱ的引伸可以通过隐含公式r2+d2=R2中的r与d进行,如球面上三点的问题是模型Ⅱ的引伸,解决此类问题的关键是,求球面上三点构成的三角形外接圆半径r,然后利用模型Ⅱ解决问题. 4.子题系列: 1.(2007年陕西高考试题)己知正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积为( ) (A) (B) (C) (D) 2.(2006年四川高考试题)如图,正四棱锥P-ABCD的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上, 点P在球面上.如果VP-ABCD=.则球O的表面积是( ) (A)4π (B)8π (C)12π (D)16π ABCPD A B C P D E F 在同一个球面上,则该球的体积为 . 4.(2006年辽宁高考试题)己知正六棱锥P-ABCDEF的所有顶点都在半径为2的球O