高考数学母题：内角三角等式三类高考试题.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 405 [中国高考数学母题](第129号) 内角三角等式.三类高考试题 解三角形的关键是內角和边角两个变换,內角变换不仅包括由內角和出发的三角变换,还包括由內角和得到的三个三角恒等式;掌握这三个三角恒等式,可快解三类高考试题. [母题结构]:(Ⅰ)(内角正切等式)在斜△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;在△ABC中,tantan+tan tan+tantan=1; (Ⅱ)(内角余弦定理)在△ABC中,sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C; (Ⅲ)(三角平方差公式):sin2α-sin2β=sin(α-β)sin(α+β). [母题解析]:(Ⅰ)在斜△ABC中,由A+B+C=πtan(A+B)=tan(π-C)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;由tan= cot(+)tantan(+)=1tantan+tantan+tantan=1; (Ⅱ)在△ABC中,由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,由余弦定理得a2+b2-2abcosC=c2(2RsinA)2+(2RsinB)3- 2(2RsinA)(2RsinB)cosC=(2RsinC)2sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C; (Ⅲ)由sin(α-β)sin(α+β)=(sinαcosβ-cosαsinβ)(sinαcosβ+cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2α sin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2β. 1.内角正切等式 子题类型Ⅰ:(2014年大纲高考试题)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B. [解析]:由3acosC=2ccosA3sinAcosC=2sinCcosA3tanA=2tanCtanC=;又由A+B+C=πtan(A+B)=tan(π-C) =-tanCtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCtanB=-1B=. [点评]:在斜三角形中,三内角的正切值具有其和等于其积的关系,而在一般三角形中,三内角半角的正切值两两乘积的和等于1;这两个绝妙等式是高考命题专家的一个着眼点. [同类试题]: 1.(2012年江苏高考试题)在△ABC中,已知=3.(Ⅰ)求证:tanB=3tanA; (Ⅱ)若cosC=,求A的值. 2.(2002年北京春招试题)在?ABC中,已知A、B、C成等差数列,求tan+tantan+tan的值. 2.内角余弦定理 子题类型Ⅱ:(1992年全国高考试题)求sin2200+cos2800+sin200cos800的值. [解析]:在△ABC中,由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,由余弦定理得a2+b2-2abcosC=c2(2RsinA)2+ (2RsinB)3-2(2RsinA)(2RsinB)cosC=(2RsinC)2sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C;令A=200,B=100C=1500sin2200+ sin2100-2sin200sin100cos1500=sin21500sin2200+cos2800+sin200cos800=. [点评]:内角余弦定理是正弦定理与余弦定理的直接结果,利用内角余弦定理求三角函数式的值,不仅体现了整体处理问题的思想,而且还体现了构造三角形解决问题的思想. 406 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [同类试题]: 3.(1995年全国高考试题)求sin2200+cos2500+sin200cos500的值. 4.(1978年全国高考试题)己知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=. 3.三角平方差公式 子题类型Ⅲ:(2015年浙江高考试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2-a2=c2. (Ⅰ)求tanC的值; (Ⅱ)若△ABC的面积为3,求b的值. [解析]:(Ⅰ)由b2-a2=c2sin2B-sin2A=sin2Csin(B-A)sin(B+A)=sin2CtanB=3tanC=2; (Ⅱ)由tanB=3,tanC=2sinB=,sinC=;又由△ABC的面积=absinC=b2 =b2=3b=3. [点评]:三角平方差公式不仅适用于正