高考数学母题：枚举向量.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(12-34):枚举向量(294) 739 枚举向量 [母题]Ⅰ(12-34):(2014年安徽高考试题)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2, y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题的是 (写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值;②若a⊥b,则Smin与|a|无关;③若a/∥b,则Smin与|b|无关;④若|b|4|a|,则Smin0;⑤若|b|=2|a|,Smin=8|a|2,则a与b的夹角为. [解析]:不妨设{x1,x2,x3,x4,x5}={a,a,b,b,b},则:①若{y1,y2,y3,y4,y5}={a,a,b,b,b},则S1=a2+a2+b2+b2+b2=2|a|2+3|b|2;②若{y1,y2,y3,y4,y5}={a,b,a,b,b},则S2=a2+ab+ab+b2+b2=|a|2+2|b|2+2ab;③若{y1,y2,y3,y4,y5}={b,b,a,a,b},则S3=ab+ ab+ab+ab+b2=|b|2+4abS只有这3个不同的值①错误;由S1-S2=(a-b)2=|a-b|2≥0,S2-S3=|a-b|2≥0S2≥S3≥S3Smin =S3;当a⊥b时,Smin=|b|2+4ab=|b|2与|a|无关②正确,③错误;若|b|4|a|,则Smin=|b|2+4ab≥|b|2-4|a||b|0④正确;若|b|=2|a|,Smin=4|a|2+8|a|2cosa,b=8|a|2cosa,b=a,b=⑤错误.综上,故选②④. [点评]:解答本题的关键是求S不同值的个数,而突破这个关键点的基本方法是枚举{x1,x2,x3,x4,x5}与{y1,y2,y3,y4,y5}的所有可能的对应情况;为减少枚举情况,本题解法中使用了分类枚举技巧(按S中含a2式的个数);向量中的枚举问题,既可考查向量知识,又能考查计数思想与设计能力,是高中数学中一个典型的“知识交汇”. [子题](1):(2007年湖北高考试题)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:由θ∈(0,]cosθ=cosa,b≥0ab≥0m-n≥0;又由向量a的总数=6×6个,其中,满足m-n=0的有6个满足m-n0的有(6×6-6)=15个满足m-n≥0的有6+15=21个概率P==.故选(C). 注:本题是高考中出现枚举向量型试题的第一题,突现了向量与枚举方法的有机结合,开创了高考命题的新的生长点. [子题](2):(2014年上海高考试题)(文)如图,四个边长为1的小正方体排成一个大正方形, AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的其余顶点,则(i=1,2,…,7)的不 同值的个数为( ) (A)7 (B)5 (C)3 (D)1 [解析]:分类枚举:①当i=2,5时,⊥=0;②当i=1,3,6时,向量在向量上的射影均为 =||=2;③当i=4,7时,向量在向量上的射影均为=2=4.故选(C). 注:由向量数量积的几何意义可得:①若点P在线段AB过点B的垂线上,则=||2; ②若点P在线段AB过点B的垂面上,则=||2. [子题](3):(2013年上海高考试题)在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点, 其余顶点为终点的向量分别为a1,a2,a3,a4,a5;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为d1, d2,d3,d4,d5.若m,M分别为(ai+aj+ak)(dr+dS+dt)的最小值、最大值,其中{i,j,k}{1,2,3,4,5},{r,s,t}{1,2,3,4,5},则m,M满足( ) (A)m=0,M0 (B)m0,M0 (C)m0,M