高考数学母题：测量问题模型转化.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 227 [中国高考数学母题](第075号) 测量问题.模型转化 三角学(包括解三角形)起源于测量问题,又应用于测量问题;测量问题包括:①测距问题;②测高问题;③航海问题;由于课标高考题型设置,使得测量问题出现在客观题中. [母题结构]:解决测量问题的关键. [解题程序]:解决测量问题的关键是将实际问几何化,即将实际问题中的长度、角度看成几何图形中相应的边和角,正确地作出相应的几何图形,创造条件解决问题. 1.测距问题 子题类型Ⅰ:(2014年四川高考试题)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角 分别为750,300,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于( ) (A)240(-1)m (B)180(-1)m (C)120(-1)m (D)30(+1)m [解析]:由AC=120,BC==120(-1).故选(C). [点评]:实际中的测距问题与几何度量问题之间具有‘互译’关系,把测距问题转化为度量问题是解决测距问题的常法. [同类试题]: 1.(2011年上海高考试题)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=750,∠CBA=600,则A、C两点之间的距离为 千米. 2.测高问题 子题类型Ⅱ:(2014年浙江高考试题)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处 进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射击线CM移动,此人为了准 确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=300,则tanθ 的最大值是 (仰角θ为直线AP与平面ABC所成角). [解析]:由AB=15m,AC=25mBC=20m;过点P作PH⊥BC于H,设BH=x,则CH=20+x;由∠BCM=300PH=(20+x),|AH|= tanθ==(令20+x=t)=≤. [点评]:测高问题首先要理解的名词:“仰角”和“俯角”:与目标视线在同一铅垂平面内的 水平视线和目标视线的夹角,当目标视线在水平视线上方时叫仰角,当目标视线在水平视线下方时叫俯角. [同类试题]: 2.(2014年高考课标Ⅰ试题)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶 C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=600,C点的仰角∠CAB=450,以及∠MAC=750;从 C点测得∠MCA=600.已知山高BC=100m,则山高MN= m. 3.航海问题 子题类型Ⅲ:(2007年山东高考试题)如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西1050方向的B1处,此 时两船相距20海里;当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西1200方向的B2处, 此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里？ [解析]:如图,由A2B2=10,A1A2=30=10ΔA1A2B2是等边三角形A1B2=10,∠B1A1B2=450B1B22=A1B12+ A1B22-2A1B1A1B2cos450=200B1B2=10乙船的速度的大小=30. [点评]:解答航海问题首先要正确认识“方位角”:从正北方向顺时针旋转到目标方向的角;方向角:从指定方向旋转到 228 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 目标方向的角;然后要认真领悟题意,并根据题意作出符合条件的几何图形.由此转化为解三角形问题,或建立平面直角坐标系转化为解析几何问题. [同类试题]: 4.子题系列: 3.(2006年上海交通大学保送生考试试题)在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为α、β、γ,且α+β+γ=900,则塔高为 . 4.(2015年湖北高考试题)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路 北侧一山顶D在西偏北300的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北750的方向 上,仰角为300,则此山的高度CD= m. 5.子题详解: 1.解:如图,由AC==. 2.解:在Rt△ABC中,由∠CAB=450AC=BC=100;在△ACM中,由= AM=100MN=AMsin∠MAN=150. 3.解:设塔高为h,则tanα=,tanβ=,tanγ=,由α+β+γ=900tan(α+β)=cotγtanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1++=1