高考数学母题：原函数与导函数之间的三个互换性质.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 143 [中国高考数学母题](第039号) 原函数与导函数之间的三个互换性质 函数图像的轴对称性、中心对称性与周期性是研究函数的重要对象,如能将它们进行相互转化,将是十分美妙的,也会为解决函数的轴对称性与中心对称性问题带来一种新的途径,导数为实现这一目标提供了平台. [母题结构]:若函数f(x)的导函数为(x),则:㈠函数f(x)的图像关于直线x=a对称函数(x)的图像关于点M(a,0)对称;函数f(x)的图像关于点M(a,b)对称函数(x)的图像关于直线x=a对称;特别地,①f(x)是偶函数 (x)是奇函数;②f(x)=奇函数+常数(x)是偶函数;㈡f(x)是以T为周期的函数(x)也是以T为周期的函数. [母题解析]:略. 1.奇偶转化 子题类型Ⅰ:(2014年湖南高考试题)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= . [解析]:由f(x)是偶函数(x)=+a是奇函数(0)=+a=0a=-. [点评]:由原函数与导函数的奇偶性的相互转化,可巧妙解决有关奇偶函数的问题,尤其是偶函数的问题. [同类试题]: 1.(2016年高考全国丙卷文科试题)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 2.(2008年福建高考试题)如果 函数y=f(x)的图象如右图,那么 导函数y=(x)的图象可能是( ) 2.对称转化 子题类型Ⅱ:(2013年课标Ⅰ高考试题)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是 . [解析]:由f(x)关于x=-2对称(x)=-4x3-3ax2+2(1-b)x+a关于M(-2,0)对称-=-2,(-2)=0a=8,b=15 f(x)=-(x+1)(x+3)(x-1)(x+5)=-(x2+4x+3)(x2+4x-5);令t=x2+4x-1≥-5,则f(x)=g(t)=-(t+4)(t-4)的最大值=16. [点评]:本题是难题,该解法为作者给出,远优于流行的“标准答案”中的解法;注意:连续函数的对称中心在函数图像上. [同类试题]: 3.(2010年全国高中数学联赛河北初赛试题)函数f(x)=x3-3x2+3x+1图像的对称中心为 . 4.(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知函数f(x)=sinx+acosx的图像关于直线x=对称.则函数g(x)=asinx+ cosx的图像关于直线( )对称. (A)x= (B)x= (C)x= (D)x=π 3.周期转化 子题类型Ⅲ:(2007年江西高考试题)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为( ) (A)- (B)0 (C) (D)5 [解析]:由f(x)是R上以5为周期的可导偶函数导函数(x)是R上以5为周期的奇函数(5)=(0)=0.故选(B) [点评]:f(x)是以T为周期的函数(x)也是以T为周期的函数,反之不成立;但有:若(x)是以T为周期的函数,且f(T)=f(0),则f(x)也是以T为周期的函数. [同类试题]: 5.(2004年安徽春招试题,2004年全国Ⅱ高考试题)函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为( )(A) (B) (C)π (D)2π 144 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 4.子题系列: 6.(2010年山东高考试题)观察(x2=2x,(x4=4x3,(cosx=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x) =f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( ) (A)f(x) (B)-f(x) (C)g(x) (D)-g(x) 7.(2007年福建高考试题)己知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x0时,(x)0,(x)0,则x0时, ( ) (A)(x)0,(x)0 (B)(x)0,(x)0 (C)(x)0,(x)0 (D)(x)0,(x)0 8.(2009年北京高考试题)设f(x)是