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数学在两部定价法模型中应用 　　 ［提要］ 两部定价法是非线性定价中较为简单的一种方式，在现实生活中应用比较广泛。本文在对两部定价法简单数学分析的基础上，探求厂商使用过程中的收益及常用手法，从而了解两部定价法的实际使用。 　　 关键词：两部定价法；价格歧视 　　 中图分类号：F27 文献标识码：A 　　 收录日期：2012年3月12日 　　 垄断厂商为了榨取消费者剩余，除了价格歧视手段外，还可采取其他方法，而最常见的就是两部定价法了。 　　 两部定价法也叫两部收费法，是指消费者为了购买某种商品，必须先买“门票”，然后才能进门付款购买该商品。其中，门票价格称为进入费或入场费，商品价格称为使用费或享用费。比如，要想消费公园内设的娱乐项目，必须先买门票，取得进门权，然后才能入公园交费并消费娱乐项目。采用两部定价法可以把进入费定的很高，使用费定的较低；也可以把进入费定的较低，使用费定的较高。两部定价法在现代经济生活中已得到了广泛应用。 　　 两部定价法虽然没有采取价格歧视，但目的仍然是要榨取消费者剩余。它把厂商的利润分解成为两部分：一部分是销售产品而获得的利润，与这部分利润相对应的产品价格是使用费；另一部分是搜刮消费者剩余而得到的利润，与这部分利润相联系的价格成为进入费。厂商的目标是实现利润最大化，也即厂商要规定一个最优的收费标准，使他的两部分利润之和达到最大。现在的问题是如何决定这个最优的收费标准。 　　 （一）简单情形。首先考虑市场上只有一个消费者的简单情形。假定厂商知道消费者的需求曲线，即知道反需求函数为P=?准（Q），并要尽可能地榨取消费者剩余。此时，定价问题的解决是简单的：让使用费等于边际成本，让进入费等于消费者剩余。设根据?准（Q）=MC（Q）确定的产量为Q*，则使用费为P*=?准（Q*），进入费为T=Surc（P，Q），（消费者剩余），并且这种定价完全榨取了消费者的全部剩余，因而是最好的价格方案。（图1） 　　 再考虑市场上只有两个（两类）不同消费者的情况。由于不实行价格歧视，厂商只能规定统一的进入费和使用费。假如厂商依然像单个消费者那样把使用费规定为边际成本，把进入费规定为需求较大的消费者的剩余，那么厂商就只能去赚具有较大需求的消费者的钱了。需求较小的消费者因进入费太高而不愿取得商品购买资格，从而被拒之门外。由于只把商品卖给一个消费者，厂商就不可能获得最大利润。最好的做法是，把使用费规定在高于边际成本的某个水平上，然后把进入费规定为此使用费水平上的需求较小者的消费者剩余，这样便可把商品卖给所有消费者，从而促进厂商最大利润目标的实现。此时厂商的利润为： 　　 πs=（Q1+Q2）P*-（Q1+Q2）MC=（P*-MC）（Q1+Q2） 　　 从搜刮消费者剩余得到的利润为πc =2T*=2Surc2（P*，Q2）（即需求较小的消费者的消费者剩余的2倍）。厂商的利润为： 　　 π=πS+πc=（P*-MC）（Q1+Q2）+2Surc2（P*，Q2） 　　 当然，如果第二需求太低，为了让他获得购买价格而让厂商损失的高需求消费者的剩余太多，以至于即使第二消费者购买产品也不能弥补厂商损失，那么进入费和使用费就会按照高需求消费者的需求曲线来决定，而不去考虑低需求消费者了。例如，若市场只存在一个消费者，其需求曲线是Q=24-P，则由P0=MC可知厂商的利润为： 　　 CS1=1/2（24-6）×（24-6）=162 　　 而加入第二个消费者之后，设第二个消费者的需求曲线为Q2=24-2P2 ，由于P0=MC；π=2T2=1/2×2（12×6）×12=72，当P1＞MC=2T2+（P-MC）（Q1+Q2）=2×1/2［（12-P）（24-2P）+（P-6）（48-3P）］=18P-P2，利润最大的条件是dπ/dP=0，可以知道18-2P=0；P=9。 　　 此时： 　　 π=（12-9）（24-2×9）+（9-6）（48-3×9）=81 　　 （二）复杂情形。通常情况是厂商面对各种各样具有不同需求的消费者，而且没有一种简单公式能够用于这种情况下的两部定价。可以说，多种商品情况的两部定价过程是一个尝试和不断修正的过程，降低进入费意味着进入者人数增多和销售利润增大。但是，当进入费太低以至于进入者人数太多时，就会导致进入费部分的利润下降。因此，在进入费的确定上有一个进入者人数的优化问题。原则上讲，开始时厂商可先规定一个使用费P0，再确定一个最优的进入费T0，然后估计由此可获得的利润π0；接下来改变使用费，使其变为P1，再计算相应的最优进入费T1，并估计由此确定的利润π2；不断这样反复下去，就会得到一个使用费序列｛Pn｝和进入费序列｛Tn｝，它们的极限将是最优两部价格（P*，T*）。下面对这种定价机制作一讨论