第二节 微积分基本的 公式(少学时简约版).pptVIP

改写无穷和的形式 由于1/n,2/n,…,i/n,n -1/n 分布于区间[ 0 ,1 ]上, 因此它们可看成是对区间[ 0 ,1 ]n 等分下的小区间端点, 而 1/n 则对应于等分下小区间的长度， 看成是函数 在这些分点处的函数值， 给定无穷和可看成是一个积分和。 化给定极限为积分和的极限 C. P. U. 数学教研组室 · 杨访 定积分作为一种无穷和的极限，按极限计 算的方法求值是十分困难的，正是由于这一原 因积分学一直没有能够得到进一步的发展。 这类和式极限直到十七世纪后期，才由两 位天才的数学家牛顿和莱布尼兹几乎在同时分 别找到了计算的方法 — 牛顿-莱布尼兹公式， 而正是由于这一公式的建立，才产生了微积分 这门对近代社会产生巨大影响的数学。 定积分作为一种无穷和的极限，按极限计算的方法 求值是十分困难的，为体会这种困难性考察如下的例。 例：根据定义计算定积分 按定积分定义有 按定义建立的这一极限式要求对区间[ 0 ,1 ]的分法 是任意的，在确定的分法下各小区间[ x i - 1 ,x i ]上点 ? i 的是任意的。在这两个任意下相应的和式极限式通常是 难以计算的。 选择特殊分割和取特殊点构造积分和 因为被积函数 f( x )= x 2 分在积分区间[ 0 ,1 ]上连 续，而连续函数可积，因此该定积分的和式极限与区间 [ 0 ,1 ]的分法无关，与给定分法下各小区间[ x i - 1,x i ] 上点 ? i 的取法无关。 为计算方便，不妨将区间[ 0 ,1 ]分成 n 等份，各小 区间[ x i - 1,x i ]上的 ? i 均取小区间的右端点。 即插入分点 x i = i /n，这样每个小区间的长度均为 ? x i = 1 /n，而相应的 ? i = x i = i /n，( i = 1,2,…,n ). 在上述对区间[ 0 ,1 ]的分割及点 ? i 的取法下，相 应的积分和化为： 由于区间为等分，故当 ? ? 0 时，n ? ? . 对上式取极限 n ? ? ，按定积分定义有 由上例的计算看出，即使对于最简单的函数，按定 积分定义计算和式极限也是困难和复杂的，因此必须寻 求计算定积分和式极限的一般方法。 牛顿之前，这项工作或许曾被许多人做过，但都未 获成功，牛顿的方法是从具体问题研究着手寻求解答。 牛顿选择的是积分学的源头问 题之一，即作变速直线运动物体 走过的路程来考察和式极限 的计算的。 (1) 问题性质的转化 从问题的实际意义看，这一结果是显然的，但从寻 求计算和式极限的方法看，此结果却有着特殊意义，它 使得和式极限的计算问题产生性质上的转化。 因为这一结果表明，对于速度函数的定积分计算， 可不必直接考虑如何求复杂的和式极限，而只需设法计 算对应的位置函数 S = S( t )在时间间隔[a ,b]内的增量 S[ a ,b ] = S( b )-S( a ). 求位置函数的增量实际是确定位置函数 S = S( t )的 表达式。 由不定积分的讨论知，已知速度函数 V = V( t )求位 置函数 S = S( t )只需计算不定积分，即 S( t )= ∫V( t )d t 因此 由于位置函数 S( t ) 是速度函数 V( t )的原函数，因 此，抽去路程问题的实际意义，将上述结果归纳为一般 性的结论就是： 设 F( x ) 是 f( x )在区间[ a,b ]上的原函数，则有 (2) 归纳一般性结果 为证明上述归纳推断需进一步认识原函数的概念， 原函数定义指出： 若在某区间 I 上有 F ?( x )= f ( x )或 dF( x )= f( x)d x, 则称 F( x )为函数 f ( x )在区间 I 上的一个原函数。 原函数定义实际是根据其性质给出的，这一定义的 好处是简单，容易形成概念，但也存在问题。因为它并 没有指出原函数的内在结构，从而不便对原函数的本质 属性进行讨论。例如，有些函数尽管知道其原函数存在, 却求不出，也不知为什么会求不出。 为了解原函数的本质属性需研究其内在结构，即弄 清对给定的 f( x )，其原函数 F( x )应是“什么样子”或 写出其原函数 F( x )的一般形式。 由原函数定义知，作变速直线运动物体在时刻 t 的 位置函数 S( t )是其速度函数 V( t )的一个原函数，即 S ?( t )= V( t )，而