第二节 点的坐标和 与向量坐标(少学时第三版简约型).pptVIP

例: 设点 A 位于第 I 卦限，向经 与 x 轴, y 轴的夹角 依次为 ? /3 ,? /4，且 ，求点 A 的坐标。 由本例条件，求点 A 可考虑求向经 由于已知 需求出 的单位向量。 由于已知 与两坐标轴 的夹角，故只需求出 三个方向余弦。 为能够用代数的方法研究几何问题，首先 需要建立点和数之间的对应关系，为建立这种 对应关系就需要建立相应的坐标系。 几何图形和数量形式的转化实际就是通过 点的坐标和向量的坐标来实现的的。 为利用代数方法研究几何图形，需先建立点和数之 间的对应关系，这就是坐标系的概念。 直角坐标系是最基本的坐标系，空间直角坐标系是 平面直角坐标系的推广。它既符合人们的视觉习惯，又 具有运算的简洁性。 有了坐标系，直线上的点可对 应于一个数，平面上的点通常对应 于一个二元数组，空间的点一般对 应于一个三元数组。 在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 ，就确定了三条都以 O 点为原点的数轴，依次记为 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，统称坐标轴。 它们构成一个空间直角坐标系，称为 Oxyz 坐标系 坐标系。 通常把 x 、 y 轴配置在水平面上，而 z 轴则是铅垂 线，它们的正向符合右手规则。 (1) 空间直角坐标系的建立 原点 横轴 竖轴 纵轴 x,y,z 轴构成右手系 (2) 相关的概念和名称 坐标面 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样 定出的三个平面称为坐标面。 三个坐标面把空间分为八个部分， 每一部分叫做一个卦限。 卦限 点 N( a ,b ,c )关于坐标面的对称点 关于 xOy 平面对称点的坐标为 P1( a ,b ,-c )； 关于 yOz 平面对称点的坐标为 P 2( -a ,b ,c )； 关于 xOz 平面对称点的坐标为 P 3( a ,-b ,c ). 点 N( a ,b ,c )关于坐标轴的对称点 关于 x 轴对称点的坐标为 Q1( a ,-b ,-c )； 关于 y 轴对称点的坐标为 Q 2( -a ,b ,-c )； 关于 z 轴对称点的坐标为 Q 3( -a ,-b ,c ). 点 N( a ,b ,c )关于原点的对称点 关于原点的对称点的坐标为 N1( -a ,-b ,-c ). 通过坐标法使空间的点与有序数组建立了“1-1” 对应关系，从而为建立数与形的联系提供了基础。为了 建立数与向量的确定的联系，需建立有序数组与向量的 “1-1”对应关系。 有序数组与向量的“1-1”对应关系是通过向量的 正交分解来实现的，由向量在三坐 标轴上分量的坐标就可建立向量与 有序数组“1-1”对应关系，并由 此定义向量的坐标表示式。 任给向量是 ，对应有点 M , 使 . 以 OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 RHMK- OPNQ . 考虑向量 沿坐标轴分解 设 则有 这一式子称为向量 的坐标分解式。 称为向量 沿三个坐标轴的分向量。 (1) 向量的正交分解 (2) 向量正交分解式的意义 建立向经与有序数组的一一对应关系 由向量的正交分解式可建立如下一一对应关系： 由向经和有序数组的一一对应关系可建立向经的 坐标的概念，即若给定点 M( x,y,z)，则有 由于所论向量均为自由向量，故向量和向经是等价 的，由向经坐标可进一步建立向量坐标的概念，即有 建立向量坐标的概念 设有向量 则由向量的线性运算的运算规则有： 上述向量的线性运算方法称为向量线性运算的分量 表示法。分量表示法将向量的线性运算分解为对其分量 的运算，即归结为对各分量的系数运算，从而在一定程 度上将向量的线性运算转化为数的运算。 (1) 向量线性运算的分量表示法 记： 由线性运算的分量表示法及向量坐标的唯一性有： 上述向量线性运算的方法称为向量 线性运算的坐标表示法，坐标表示法 将向量的线性运算转化为对其坐标的 运算，从而将向量