高中数学必修4《平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计.docVIP

平面向量基本定理及平面向量的正交分解及坐标表示 问题1.我们看下面的题: 中,,,且与边相交于点,的中线与相交于点,设,,用表示向量,,,,,,. 类似的,用两个不共线的向量来表示其它向量的问题在例题和习题中还有多处. 从这些题目中我们不难发现,图中所有的向量都可用向量来表示,那么自然地会问这样一个问题:平面内的任意一个向量是否都能用类似该题的方法,用给定的两个不共线的向量来表示那？ 说明学生会通过作图来说明这一问题,在解决问题时可能要提醒学生,这里的向量是自由向量,其始点是可以移动的,所以在用纸笔作图时,将三个向量的起点放在一起可便于研究问题.教师可循着学生的思路通过计算机作图来帮助其他学生认清这个问题. 问题2.从前面的研究中我们发现任意一个平面向量都可以用两个不共线的向量表示,那么对于给定的向量及向量,,若要将用,表示其形式是怎样的? ?　　说明通过电脑作图让学生体会可能与,中的一个共线,也可能与,都不共线, 引导学生得出结论.教师也可以通过在电脑作图来展示不同的、所作出的向量. 事实上在物理上也常有将一个力分解成若干个力,将几个力合成为一力.可以看作是力的分解合的成向量表示形式. ?从前面的研究及力的分解合成的经验可以发现:向量,中的,是唯一确定的. 由此我们有定理: 　　平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使 我们把不共线的向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 例1已知向量,求作向量. ? 　　说明教师可用电脑作图,演示结果.实际上前面已经在不自觉地利用基底解题,如我们在计算力,与速度问题时,常进行分解合成,目的也是将问题集中到两个向量(基底)上来处理.前面的习题中我们已经做了许多有关向量的加法、减法、数乘，由向量基本定理，我们就可以将一个问题中的若干向量集中到两个向量上，这样就方便了我们的计算. 问题3已知平行四边形中,、是对角线、上的两点，且，试用向量方法证明四边形也是平行四边形 分析： 由平面向量的基本定理可知向量及用一组基底来唯一表示,要证明四边形是平行四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量及是相同的即可.(分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入一步) ? 　　　　　　　　 ? ,?则 　　　　, 　　　　而. 　　　　所以,四边形为平行四边形. 不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:已知两个非零向量,,作,,则()叫做向量,的夹角.当时,与同向;当时, 与反向.如果与的夹角是.我们说与垂直,记作 . 2.平面向量的坐标表示 请学生结合向量基本定理及正交分解,思考平面内的任一向量是否都可以用轴和轴上的单位向量来表示.在学生讨论的基础上,请学生做下面的练习. 问题4设轴和轴上且方向与轴的正方向同向的单位向量分别用向量和来表示.试用和来表示图中的向量. ? ? , , , ,? , 说明这里想让学生体会,的系数得出的有序数对与向量间的对应关系. 问题5结合上面的练习研究下面的问题, 如果将、的系数组成一个有序数对,那么平面上的任意一个向量与数对之间有怎样的对应关系？ ? 让学生发现有一个向量就有唯一确定的一个数对；反过来，一个数对对应着无穷多个向量，但这些向量都是相等的.(这在后面向量的坐标上要让学生进一步有所认识,知道坐标对应的向量的图形只是从原点出发的向量,但其他与它相等的向量都是由这个坐标表示.) 问题6 结合上面的研究请学生自己定义向量的坐标.(教师可结合教科书上的定义来点评学生自己的定义.这是为了培养学生理解和归纳能力,经常有类似的训练有助于提高学生的能力. 如图,在直角坐标系中,分别与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数、，使得 ? ?.??????? ① ? ? 这样,平面内的任一向量都可由、唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作 ,???????? ② 　　其中叫做在轴上的坐标, 叫做在轴上的坐标,②式叫做向量的坐标. 练习：层次一：练习A1、2、3 层次二 ：练习B1、2、3、4