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利用几何画板探索圆锥曲线的光学性质与最值问题 作者:孙洪成 工作单位：九江六中 摘要:本文的撰写初衷源于教材的阅读材料《圆锥曲线的光学性质》〉。除了给出了圆锥曲线的光学性质的数学证明外,本文还就中学阶段的一类最值问题与光的物理属性联系起来,并借助这一光学性质解决一些较复杂的最值问题，同时就新课标下，高考在圆锥曲线这部分内容上的命题谈了点自己的看法。 关键字: 圆锥曲线 焦点 光的反射 最值 正文: 引例 引例1: 如图1,在铁路的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两厂到货场C的距离和最小，，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点P,使|AP|+|PF|取最小值。 这两道题目分别堪称初、高中数学的经典题，解决方法有异曲同工之妙，都采用了将折线段转化为直线段，从而确定最小值点，利用两点之间线段最短这一事实加以论证。鉴于这两道经典题是每位中学数学教师耳熟能详的了，所以，就这两题的详细解答过程，本文不再赘述。 在阅读了北师大版教材中的阅读材料《圆锥曲线的光学性质》后，回想起这两道经典题目，我觉得有必要再进一步地探索一下它们的本质联系。 圆锥曲线的光学性质及其数学证明 性质定理：由圆锥曲线的一个焦点发出的光线，经圆锥曲线反射后，其反射光线必经过另一焦点。（圆看作是两个焦点重合于圆心，抛物线的另一个焦点看作在无穷远处） 为了证明这一定理，有必要先对曲线在某点的切线与法线作简单说明：设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点,此时直线称为曲线在点处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线。 先就椭圆加以证明，分下面两个步骤完成： 第一步：求证：若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：。 证明：由……① 当时，过点的切线斜率一定存在，且 ∴对①式求导： ∴∴切线方程为……② ∵点在椭圆上， 故 代入②得…………③ 而当时， ， 切线方程为，也满足③式 故是椭圆过点的切线方程. 第二步：如图6，椭圆的方程为， 分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点 的切线，为垂直于且过点的椭圆 的法线，交轴于设， 求证：. 证明：在上，， 则过点的切线方程为：，是通过点且与切线垂直的法线， 则，∴法线与轴交于 ∴，∴ 又由焦半径公式得：。∴ ∴是的平分线，。 所以,由光的反射定律可知，从一个焦点发出的光线经椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点。对于圆来说，由于半径与切线垂直，自然由圆心发出的光线经圆反射后也经过圆心。 再来就双曲线加以证明，类似地也分两个步骤： 第一步：若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为： 第二步：如图7，曲线的方程为， ，分别是其左、右焦点，是过双曲线 上的一点的切线，交轴于点， 设， 求证：。 证明方法与椭圆完全类似，所以详细过程不再赘述。这说明由双曲线的焦点发出光线经双曲线反射后，其反射光线的反向延长线通过另一个焦点。 最后再对抛物线加以证明，也分两个步骤： 第一步：若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是。 证明：由，对求导得： 当时，切线方程为 即 而………………① 而当时，切线方程为也满足①式 故抛物线在该点的切线方程是. 第二步：如图8，抛物线的方程为， 直线是过抛物线上一点的切线，交轴于， ，与x轴平行， 且与所成角记为。求证：。 证明： 如图8，抛物线的方程为 ，点在该抛物线上， 则过点的切线为 切线与轴交于 焦点为， (同位角) ∵ ∴,∴。 这说明，由抛物线焦点发出的光线经抛物线反射后，反射光线沿对称轴方向射出。如果将抛物线的另一个焦点在无穷远处，也可以认为反射光线经过无穷远处的那个焦点。 经过上面的分别论证，就得到了开始提出的圆锥曲线的光学性质。 探寻光学性质与最值问题的联系 张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和” 取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”这些话让我开始重新审视开篇的两个引例，其实它们几乎可以认为是同一个问题，都是光的反射问题，只不过“反射界面”不一样，一个是平面，一个是抛物面。在椭圆与双曲线中也可以找到类似的问题。 例.已知椭圆C：，F1、F2为分别是其左右焦点，点Q(2，1)，P是C上的动点，求|PF1|+|PQ|的取值范围。 （一）分析猜想： 经计算，Q（2，2）点在椭圆内,根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得