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II.C 微积分 Keith Parramore and Terry Watsham 这一章的目的是对微积分的意义、方法进行一下介绍，并且传授基本的技能和知识。在这章结束时你能够： 理解微分的概念，并且能够将微分法则运用于多项式函数、指数函数、对数函数。 能在金融环境中运用泰勒逼近。 理解积分的概念，并且能够将积分法则运用与多项式函数、指数函数、对数函数。 能够确定单变量和多变量函数的最大最小值 能够解决无约束和约束最优化问题。 在这章中我们将关心两种类型的微积分学：微分学和积分学。 微分学能够让我们测量一个变量关于另一个变量或多个变量的变化率。在金融学中的一个普遍的运用就是测量当一个债券收益率变化的时候其价格的变化率。另一个经常碰到的运用是风险资产结构化投资组合的衍生品，用于在给定风险水平下最大化投资组合的收益。后一个运用被称为最优化。 积分学能够让我们求得曲线或者曲面下的面积。在金融上面运用包括得到欧式期权在到期日的期望价值，通过概率密度函数下面的面积来求得一个给定回报范围的概率。有很多跟这些例子相似的问题，例如通过找到一个损失分布的期望和一个更小的百分比，来估计一个投资组合的(市场或者)信用的在险价值（见III.A.2和III.B.5）。 现代技术为计算机解决涉及变化率、面积/体积之类的问题提供了很多工具，既有通过数值方法，又有通过分析（精确的）方法的计算机代数工具包。然而，要用好这些工具，专业人士需要在微积分的基本原理和技术方面有好的功底。所以我们将从学习微分学开始我们的分析。 II.C.1 微分学 II.C.1.1 函数 假设一个变量y随着变量x的变化而变化，即给定任意的x，有唯一的一个y与之对应。那么我们就说y是x的一个函数，写为，为了说明这个，考虑如下函数： ； ； 注意到这些函数都是定义在任意实数x上的。情况并不总是这样，通常函数定义域的特性(函数运行的区域)是函数定义的一个重要的部分。让我们对x在-5到5上计算每个函数的函数值，并作图。 x= -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y= -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 y=2x x= -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y= -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15 y=5+2x x= -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y= 50 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50 图II.C.1 II.C.1.2 一阶导数 函数y=f(x)的1阶导数(也称为y关于x的1阶导数)显示了随着x的变化，y变化的得有多快。显示了y相对于x变化时的变化率。这里有2个完整的1阶导数的记号，，。我们将换着使用这两个符号。 首先让我们考虑函数y=2x（图II.C.1）。线的斜率指出了y关于x变化的变化率。斜率由垂直变化（例如y的变化）除以水平变化（例如x的变化）的比率给出。因此斜率为。对于函数y=2x，垂直的关于水平的比率为固定的，值为2。在函数y=2x+5中有同样的结果。y的变化总是x变化的两倍。对这两个函数来说＝＝2。注意到常数项，5，在第二个函数中没有影响到线的斜率，只影响线的位置。因此常数不影响变化率，也不影响函数f(x)的导数。 现在考虑图II.C.2。注意到曲线随着x正的越多，就变的越陡峭。换句话说就是y的变化率不是一个常数，它随着x的增长而增长。在那样的情况下，如果x变化一个很大的数值，称为,导致y变化，那么只能近似的得到。 考虑图II.C.3，直角三角形的斜边，由‘曲线的弦’表示，只给出了2点之间变化的平均值。 图II.C.3 如果变得越来越小，那么Q点就越接近P点，通过PQ两点的直线就越接近P点的切线。（注意到一条曲线上任意一点的切线定义为一条只与曲线在这一点相交的直线）。切线的斜率也就是函数在P点的变化率。随着趋向于0（图II.C.4），变化的商：也就趋于一个函数，这个函数就给出了瞬时的变化率。 图II.C.4 我们如何导出瞬时变化率的的表达式：考虑函数。如果x变化一个很小的量，y也将变化一个很小的量。可以得到。将右边展开得到。对我们推导出，两边同时除以。 随着趋向于0，上式清楚的趋向于4x，因此我们得出结论：。 函数的一阶导数为4x。这个给出了y在任意选点的x处的变化率。这是任意点x处切线的斜率。 II.C.1.3 记号 微分有两种记号来源于莱布尼兹和牛顿。后者有称为函数记号。 函数（牛顿）记号： 如果，那么 莱布尼兹记号； 如果，那么 莱布尼茨记号在有多于一个独立变量的时候很有用，它能够分别指出，.当需要指出斜