用空间向量解立体几何中几类典型问题.docVIP

立体几何中几类典型问题的向量解法 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。 利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离 （1）点到点的距离：求两点之间距离，可转化求向量的模。 （2）点到线的距离： 如图，E为面α外任意的一点，F为α内任意一点，为的法向量，则，E到平面的距离为 例1、如图，ABCD为边长为4的正方形，GC⊥平面ABCD，GC=2，E、F分别是AD、AB的中点，求点B到平面EFG的距离. 解析：如图建立空间直角坐标系，则：A（4，4，0），B（0，4，0），D（4，0，0），E（4，2，0），F（2，4，0），G（0，0，2）。 设平面EFG的一个法向量为=（x,y,z），则： （3）求点到平面的距离：设分别以平面外一点P与平面内一点M（平面内异于垂足的任一点）为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模, 即d=。 例2．如图，ABCD是边长为4的正方形，GC面ABCD，GC=2，E、F分别是AD、AB的中点， 求点B到平面EFG的距离。 解析：如图，建立空间直角坐标系，则G（0，0，2），B（0，4，0），A（4，4，0），D（4，0，0），E（4，2，0），F（2，4，0） =（4，2，-2），=（2，4，-2），=（0，4，-2） 设=（x,y,z）是平面EFG的一个法向量 ∵ =4x+2y-2z=0 ∵ =2x+4y-2z=0 ∴ 可取=（1，1，3） 又如：如图15，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为4，A1A=6，Q为BB1的中点，PDD1，MA1B1，NC1D1，A1M=1，D1N=3，若P为DD1的中点，求三棱锥Q—PMN的体积。 解法：建立如图15的直角坐标系，则 有P（0，0，3），M（4，1，0），N（0，3，0），=，=，= ， COS = == sinMPN== 又 =（4，4，0），设平面PMN的法向量为=（x，y，z）， 则由 得， y = z = 2x，不妨取=（1，2，2）， 则Q到平面PMN的距离h === 4 (4)求两条异面直线间距离：可设异面直线的法向量为，分别是上的任意两点， 则之间距离 例3．如图，已知ABCD是正方形，，PD=AB=1，E、E分别是PB、PD中点， 求异面直线AF与CE间的距离。 解析：如图建立空间直角坐标系，则：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），E，F ，，又设AE，CF的公垂线的方向向量为，则： 例4：如图，在长方体中，求平面与平面的距离。 解：，同理又，建立直角坐标系，， ,设为平面的法 向量，则 由， 不妨设，再选一条斜线段（端点分别在两个平面内），求斜线段对应的向量在法向量上的射影向量的模即可。 点评：若是平面的法向量，是平面的一条斜线段，且，则点到平面的距离，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影向量的模。 二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。 （1）线线角：设是两条异面直线，是上的任意两点，是直线上的任意两点，则所成的角为 （2）线面角：设是平面的斜线，且是斜线在平面内的射影，则斜线与平面所成的角，，即=。设是平面的法向量，是平面的一条斜线，则与平面所成的角，，即=。 （3）二面角：设是二面角的面的法向量，则，即，就是二面角或二面角的补角。 例5：在棱长为的正方体中，分别是的中点， （1）求直线所成角； （2）求直线与平面所成的角， （3）求平面与平面所成的角 解：（1）如图建立坐标系，则 ， 故所成的角为 （2）所以在平面内的射影在的平分线上，又为菱形，为的平分线，故直线与平面所成的角为，建立如图所示坐标系，则，， 故与平面所成角为 由所以平面的法向量为下面求平面的法向量，设，由，， ，所以平面与平面所成的角 例6：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 解：如图建立直角坐标系，则 ， 所以是平面的一个法向量。设平面的一个法向量 由， 令， 平面与平面所成的二面角的正切值为 点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面