计算机算法设计与分析第一章课件.pptVIP

（5）算术运算： O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) ； O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)+g(n)) ； O(f(n))*O(g(n)) = O(f(n)*g(n)) ； O(cf(n)) = O(f(n)) ； g(n)= O(f(n)) ? O(f(n))+O(g(n)) = O(f(n)) 。 规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的 证明： 对于任意f1(n) ? O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对所有n? n1，有f1(n) ? c1f(n) 。 类似地，对于任意g1(n) ? O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数n2，使得对所有n? n2，有g1(n) ? c2g(n) 。 令c3=max{c1, c2}， n3 =max{n1, n2}，h(n)= max{f(n),g(n)} 。 则对所有的 n ? n3，有 f1(n) +g1(n) ? c1f(n) + c2g(n) ? c3f(n) + c3g(n)= c3(f(n) + g(n)) ? c32 max{f(n),g(n)} = 2c3h(n) = O(max{f(n),g(n)}) . 算法渐近复杂性分析中常用函数 （1）单调函数 单调递增：m ? n ? f(m) ? f(n) ; 单调递减：m ? n ? f(m) ? f(n); 严格单调递增：m n ? f(m) f(n); 严格单调递减：m n ? f(m) f(n). （2）取整函数 ? x ? ：不大于x的最大整数； ? x ? ：不小于x的最小整数。 取整函数的若干性质 x-1 ? x ? ? x ? ? x ? x+1； ? n/2 ? + ? n/2 ? = n; 对于n ? 0，a,b0，有： ? ? n/a ? /b ? = ? n/ab ? ; ? ? n/a ? /b ? = ? n/ab ? ; ? a/b ? ? (a+(b-1))/b; ? a/b ? ? (a-(b-1))/b; f(x)= ? x ? , g(x)= ? x ? 为单调递增函数。 （3）多项式函数 p(n)= a0+a1n+a2n2+…+adnd； ad0; p(n) = ?(nd); f(n) = O(nk) ? f(n)多项式有界； f(n) = O(1) ? f(n) ? c; k ? d ? p(n) = O(nk) ; k ? d ? p(n) = ?(nk) ; k d ? p(n) = o(nk) ; k d ? p(n) = ?(nk) . （4）指数函数 对于正整数m,n和实数a0: a0=1; a1=a ; a-1=1/a ; (am)n = amn ; (am)n = (an)m ; aman = am+n ; a1 ? an为单调递增函数; a1 ? ? nb = o(an) ex ? 1+x; |x| ?1 ? 1+x ? ex ? 1+x+x2 ; ex = 1+x+ ?(x2), as x?0; （5）对数函数 log n = log2n; lg n = log10n; ln n = logen; logkn = (log n)kl; log log n = log(log n); for a0,b0,c0 |x| ?1 ? for x -1, for any a 0, , ? logbn = o(na) （6）阶层函数 Stirling’s approximation 算法分析中常见的复杂性函数 小规模数据 中等规模数据 用c++描述算法 （1）选择语句： （1.1) if 语句： （1.2) ？语句： if (expression) statement; else statement; exp1?exp2:exp3 y= x9 ? 100:200; 等价于： if (x9) y=100; else y=200; （1.3) switch语句： switch (expression) { case 1: statement sequence; break; case 2: statement sequence; break; ? default: