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全等三角形 一、教学目标： 1. 通过全等三角形的概念和识别方法的复习，让学生体会辨别、探寻、运用全等 三角形的一般方法，体会主动实验，探究新知的方法； 2. 培养学生观察和理解能力，几何语言的叙述能力及运用全等知识解决实际问题的能力. 二、教学重点：运用全等三角形的识别方法来探寻三角形. 三、教学难点：运用全等三角形的知识解决实际问题. 四、基础知识: 1．全等三角形及其相关概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边． 2．全等三角形的数学语言 如图1所示，三角形ABC与三角形A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作“三角形ABC全等于三角形A′B′C′”． 3．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 4．全等三角形的判定方法 （1）三边相等（SSS）； （2）两边和它们的夹角相等（SAS）； （3）两角和其中一角的对应边相等（AAS）； （4）两角和它们的夹边相等（ASA）； （5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）． 注意：没有“AAA”和“SSA”的判定方法，这是因为“三角对应相等的两个三角形”和“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形”未必全等。如图2，△ABC和△ADE中，∠A=∠A，∠1=∠3，∠2=∠4，即三个角对应相等，但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等；如图3，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，即两边及其中一边的对角对应相等，但它们并不全等。 5. 角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等。 6. 角平分线推论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 7. 全等三角形的基本图形大致有如下几种： （1）平移型 下图的图形属于平移型图形 它们可看成是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而证得。 （2）对称型 下面的图形属于对称型图形 它们的特征是可沿某一直线对折，且这直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点。 （3）旋转型 下面的图形属于旋转型图形 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中。 8．证题的思路： 五、典型例题 例1如图，∠E=∠F=90。，∠B=∠C，AE=AF，给出下 列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM； ④CD=DN，其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上) 例2在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1AB9 B．3AB13 C．5AB13 D．9AB13 例3若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由。 例4如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度数 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例5. 如图，在中，是∠ABC的平分线，，垂足为。求证：。 例6. 如图，分别是外角和的平分线，它们交于点。求证：为的平分线。 例7. 如图，是的边上的点，且，，是的中线。求证：。 例8.如图，在中，，，为上任意一点。求证：。 练习 1．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关 系，并证明你的结论． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积.