随机变量的数字特征教学幻灯片讲义.pptVIP

第三讲 随机变量的数字特征;你们喜欢那个图？;1;§1.5 随机变量的数字特征 1.5.1 随机变量及其函数的数学期望 一、一维随机变量的数学期望;;例1.22 随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，求 的数学期望。 解：由于X 服从均匀分布，概率密度为;三、二维随机变量及其函数的数学期望 1、二维随机变量的数学期望 设二维随机变量(X1, X2)的联合概率密度 已知，其二维概率质量分布的“重心坐标”应该为;2、二维随机变量函数 的数学期望;;例1.23 设 n 维随机变量 X1, …, Xn 的函数 其中权重 ai 是常数。求函数的期望 ;同理有：;二、一个随机变量关于另一个随机变量的条件期望;;例1.25 已知随机变量X服从(0,1)的均匀分布，随机变量Y服从 (X, 1)上的均匀分布。求：条件期望 ① ，② 解：①根据已知条件，在给定条件 下，随机变量Y的条件概率密度;;;3、方差的性质;;四、随机矢量的方差;;1.5.4 相关、正交、独立 一、相关系数 1、两个随机变量相互关系的描述 ①若X与Y独立，X的取值与Y的取值没有任何关系，则X与Y在xy平面 上没有样本点(x, y)存在。 ②若X与Y相关，对于X取的每一个值都有Y取的值与其对应。因此，X与 Y在xy平面上有样本点(x, y)存在。;相关系数的引入;线性回归法;a，b参数的确定 ;2、X与Y之间线性相关系数的定义：;;二、不相关、独立、正交;2、不相关、独立和正交的关系;不相关、独立和正交的关系：;例 1.27;;1.5.5 随机变量的特征函数;二、特征函数的性质 1. 有界性： ︱QX (u)︱≤ QX (0)=1;5、相互独立的随机变量 的和 的特征 函数 等于各个变量特征函数的乘积;特征函数性质 6 (1) 若X的n阶绝对矩存在，则它的特征函数QX(u)有n阶导数存在 (2) 且当1≤k≤n时，有;;;特征函数性质 7;例1.30 求高斯变量的特征函数;;例1.31 求二项分布的特征函数、期望、方差。 二项分布Y 代表 n 重贝努利试验 ( n 次重复的 独立试验)中某随机事件A发生的次数。 设： p － 每次试验中A事件发生的概率。 q=(1-p)－ 每次试验中A事件???发生的概率。;;;三、特征函数与概率密度的关系;;;;标准正态分布;2、高斯变量的 n 阶矩 标准高斯变量 X 的n阶矩;二、n维高斯分布 若在同一个概率空间上的n个随机变量(X1, …,Xn)均为高斯变量，则称其为n维高斯变量。n个随机变量的取值也可以用矢量表示为：;2、联合特征函数;三、n 维高斯变量的特点 1. 不相关(线性不相关 ) ＝独立 证明： 设n维高斯变量X1, …,Xn, “互不相关” Cij=0 (i≠j)，且设 Xk ~N(mk , σk2), k = 1, 2, …, n，即有;n维联合特征函数：;2. n 维高斯变量经过线性变换后仍然服从高斯分布 证明：设 n 维高斯变量(X1,…, Xn) ，用矢量 表示，作一线性 变换 ，其中 为系数矩阵 ;Y的均值;因为X ~ N (Mx , Cx);3、高斯矢量的边缘分布仍是高斯分布 证明：设n个分量的随机矢量 其中的子矢量 kn ;;习题： 1－19、1－20、1－21 、1－22、1－26、1—28