随机过程的线性变换教学幻灯片讲义.pptVIP

第三章 随机过程的线性变换;学习目标： 1、理解线性变换的定义； 2、理解线性变换的两个基本定理； 3、掌握线性系统分析的冲激响应法和频谱法； 4、理解噪声等效通能带的概念； 5、掌握最佳线性滤波器的原理；;3.1变换的基本概念及基本定理;（2 ）线性变换 其中 、 为随机变量， 、 为随机过程。 对于线性变换 若有 则称线性变换L是线性时不变的。; 定理1： 设 即算子L、E可以交换次序。 ;两边均对n取极限无穷大，则有;定理2：; 对于线性时不变系统， 若X(t)是严平稳的，则Y(t)是严平稳； 若X(t)是广义平稳的，则Y(t)是广义平稳的。;(1)随机变量的极限 定义：设随机变量X和Xn(n=1,2,?)均有二阶矩，若有 则称随机变量序列{Xn}依均方收敛于随机变量X，或称变量X是序列{Xn}依均方收敛意义下的极限，记为： l.i.m即Limit in mean square;（4） 随机过程的导数 定义：若随机过程X(t)存在极限 则称此极限为随机过程X(t)的导数，记为X’(t)或 即 随机过程的导数亦是随机过程。;可导充要条件： 相关函数 在自变量 时，存在二阶混合偏导数； 若信号平稳，相关函数 当自变量 时，二阶导数 存在。;例1: 随机过程X(t)的相关函数为 判断X(t)是否均方连续、均方可导。;导数统计特性： ? ，即 ? ;? 若X(t)为平稳可导信号，则;随机过程及其导数过程关系示意图;(5) 随机过程的积分 定义：设随机过程X(t)，把区间[a,b]划分成n等份，若有 则称Y为X(t)在区间[a,b]上的均方积分，记为 也可以写成如下形式：;积分统计特性 ?均值 ?方差 ;1. 冲激响应法 ;?互相关函数;当输入X(t)为白噪声，系统的输出 ;?自相关函数;输入输出相关函数关系图;;2.频谱法 ;输入输出相关函数关系图;(1)若输入X(t)平稳，h(t)在(-?，+ ?)存在，则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳； (2)对于物理可实现系统，即当t0时，h(t)=0， 且假定输入X(t)平稳。 ?若输入从-?加入(双侧随机信号);结论：输出平稳，若X(t)遍历，则Y(t)遍历;?若输入从t=0时加入，(单侧随??信号);例1 如图所示的RC电路，输入为零均值的平稳随机过程, 且相关函数为 求输出Y(t)的自相关函数。;解：RC电路的冲激响应为;(2) 频谱法;求上式的傅里叶反变换;3.3 限带过程;理想低通过程;理想带通过程;理想带通随机过程自相关函数;3.噪声等效通能带;对低通系统;功率谱为N0/2的白噪声通过线性系统，输出的平均功率为;功率谱为N0/2的白噪声通过线性系统，输出的平均功率为;例;输出过程的相关时间;3.4 随机序列通过离散时间线性时不变系统;对于平稳随机序列;单位延迟;1;系统稳定的条件：|a|1;系统的传递函数; 输出的均值为零;功率谱分析;举例：一阶MA模型;系统的传递函数;取b0=1,b1=-1;均值为零，相关函数为;相关函数是有限长度的，;功率谱分析;M阶MA过程 ;M阶MA过程的均值仍为零 ;由相关函数的偶函数性质可以得到m0的值。;ARMA模型;例 设有ARMA(2,2)模型， X(n)+1.4X(n-1)+0.5X(n-2)=W(n)-0.2W(n-1)-0.1W(n-2) 其中W(n)是零均值单位方差的平稳白噪声，求该过程的自相关函数和功率谱。 ;我们根据输出信噪比最大的准则,推导线性滤波器具有的传递函数H(?). 设线性滤波器输入信号为: n(t)为平稳随机噪声,均值为零,功率谱为Gn(?). ;令y(t)表示线性滤波器输出信号:;定义某时刻t=t0时滤波器输出端的信噪比d0为:;利用如下许瓦兹不等式:;代入许瓦兹不等式得:;最大输出信噪比为:;滤波器分析:;最佳线性滤波器为:;匹配滤波器冲激响应:;t;匹配滤波器性质: ?输出信噪比dm与信号s(t)波形无关;;如果选择输出最大的时刻t0在信号结束之前, 则匹配滤波器在物理上不可实现;?匹配滤波器对信号的幅度和时延具有适应性;;?匹配滤波器的幅频特性与输入信号的幅频特性相同， 相频特性等与输入信号的反相相频特性，并附有一附加的相位项。;例1: 单个矩形脉冲信号的匹配滤波器脉冲信号 求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形.;矩形