成贤教材-高数B下习 题 课 下01.docVIP

习 题 课 下01 一．选择题 1.若级数，则级数（ A ） （A）；（B）；（C）；（D）发散。 解：收敛，也收敛， 且，，故。 2．下列级数中收敛的级数是（ ） （A）；（B）；（C）；（D）。 解：∵，而收敛，∴收敛。 3．设，则级数（ ） （A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性与有关。 解：∵，而收敛，∴收敛，从而收敛， 又∵发散，∴发散。 4．（ C ） （A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散； （D）不能确定其敛散性。 ∴发散，从而，故发散。 二．填空题 1．设常数，则当满足条件时，级数收敛。 解：∵ 当时，～，而当，即时收敛， ∴故当时收敛。 2．设，且，则。 解：设与的部分和分别为与， ∵收敛，∴设。 ∵ ，∴， ∵，∴。 三．判别下列级数的敛散性 1． 解法1（比较法）：∵，而收敛，∴收敛。 解法2（根值法）：∵， ，∴， 解法3（利用级数的性质）： ∵， 而、均收敛，∴收敛。 2. 解：， ∵，而收敛，∴收敛，从而收敛。 3． 解：∵，∴发散。 注：∵， ∴本题不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。 4． 解法1（比值法）： ，收敛。 解法2（根值法）：∵，∴收敛。 5． 解：，∵ 当时，～， ～～， ∴～，显然此级数为负项级数。 ∵，而收敛， ∴收敛。 四．解答题 1.讨论级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。 解：设，则，∵， ∴当，收敛；当，发散。 从而当，绝对收敛；当，发散。 当，，∵，而发散，∴发散。 ∵，且，∴收敛， 故当，绝对收敛；当，发散；，条件收敛。 2.常数，级数是（1）发散；（2）条件收敛；（3）绝对收敛。 分析：设，。，∵，∴发散。 ，，但不能确定是否收敛。为此用比较判别法：，显然，当时，收敛，从而绝对收敛。综上可知，要分，，三种情况进行讨论。 解：设，， （1），∵，∴，发散。 （2），取，则有 ，而收敛， ∴收敛，故绝对收敛。 （3）， ∵，而发散，∴发散。 设，，当，， ∴，从而，且， 故由莱布尼兹判别法知条件收敛。 综上讨论可知，，发散；条件收敛；绝对收敛。 五．证明题 1．设级数收敛，且绝对收敛，试证绝对收敛。 证明：设收敛于，则， 其中， ∵， ∴，从而，，有。 又∵，而绝对收敛，即收敛， ∴收敛，即绝对收敛。 2．设函数有定义，在某邻域内具有二阶连续导数，且 ，证明级数绝对收敛。 证法1：∵在某邻域内连续，∴在， 又∵，∴，。 公式为 ， ∵在某邻域内连续，∴，使得， 从而当，有。而收敛，∴绝对收敛。 证法2：∵在某邻域内连续，∴在， 又∵，∴，。 用洛必达法则有， ∵存在，∴存在，而收敛，∴绝对收敛。 3．设级数收敛，且正项级数收敛，证明级数收敛。 证明：收敛， ∵， ∴，从而，，。 ∵正项级数，∴当n充分大时，。 ∵，而，∴。 4．设，（1）求的值；（2）试证对任意的常数， 级数收敛。 证明: . ， ∵，∴。 ∵， ∴， ∵，∴，从而收敛。 1