成贤教材-高数B下§8.6多元复合函数和隐函数微分法.docVIP

§8.6多元复合函数和隐函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设是由和复合而成，则。 8.6.1 复合函数微分法 1.全导数 定理1 若函数及都在点可导，函数在对应点处可微，则复合函数在点可导，且 ① 证明：给以增量，则、得相应的增量、， 从而有全增量，∵在处可微， ∴，其中。 ∵、都在点可导，∴、都在点必连续， 即当时，，，从而。 ∵，而 ， ∴ ，即。 全导数公式可形象地表示为 ，“按线相乘，分线相加”。 可把定理1推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如：，而，则， 。 例1．已知，而，，求。 解法：。 定理1还可以推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。 2.复合函数的微分法 定理2 设，而。若在点处偏导数都存在，而在相应点可微，则复合函数在点处存在偏导数，且 ， 。 类似地，，而， 则， ， 。 在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。 例如：设，，则， ， 。 如果，，则 注意：这里与是不同的，是把复合函数中的看作 不变而对的偏导数，是把中的看作不变而对的偏导数。 与也有类似的区别。 例2．设，而，，求，。 解：； 。 例3.设，而，为可导函数，证明：。 证明：， ， 。 例4．设，，求和。 解： . . 例5．设，有二阶连续偏导数，求，，。 解：设，，则 ， 。 。 例6．设，具有二阶连续偏导数，求及。 解: 以1、2分别表示、 两个中间变量，函数的复合关系图如右： ， ， ，， 故. 例7．设，具有连续的二阶偏导数，求，，。 解：， ， 。 例8．设，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求. 解：， 3.全微分形式不变性 设可微，（1）若是自变量，则。 （2）若是中间变量，即，，， 则复合函数的全微分为 。 由此可见，无论，它的全微分形式是一样的，此性质称为全微分形式不变性。 例9． 已知，利用全微分形式不变性，。 解：∵，，， ，，。 8.6.2 隐函数微分法 定理3 （隐函数存在定理1）设（1）函数在点的某一邻域内具有一阶连续偏导数，（2）， 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足，并有。 ① 定理的证明从略，仅就公式①作如下推导： 把代入方程，得， 两端对求导，得， ∵连续，且， ∴存在点的一个邻域，在这个邻域内，∴。 例1．验证方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数、当的隐函数，并求此函数的一阶导数在的值。 解：设，则，，，， 由定理1知，方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数、当的隐函数。 ，。 方程表示单位圆。从图中可见， 只要，则在附近的 一段圆弧的方程就可用表示（或）。 由可知，当时，；当时，，由此可见隐函数存在定理1中条件的重要性。 例2．求由方程所确定的隐函数的导数。 解：设， ，，∴。 定理4（隐函数存在定理2）设（1）函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数；（2），， 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有 ， ② 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 将代入，得， ， ，∵连续，且， ∴存在点的一个邻域，在这个邻域内， ∴， 。 定理3可推广到三个自变量以上的情况。 例3．设，求，，。 解法1：令，，，， ∴， 。 解法2：， ， ，， ∴，，。 例4．设是由方程所确定的隐函数，其中为常数， 证明。 解：设，则，， ， ，， 故。 例5．设，其中是由方程所确定的隐 函数，求。 解法1：，， 设，， ， 故。 解法2：看作方程组的情形。 方程组确定的函数， ，解出，故。 由方程组确定的隐函数以为例。 定理5 设（1）在点的某个邻域内具有对各个变量的连续偏导数；（2）行列式 则由方程组在点P的某一邻域内能确定一组单值连续且具有一阶连续偏导数的函数满足且 ； ⑥ 定理的证明从略，仅就公式⑥作如下推导： 由于两边对， ∵在点的某个邻域内， ∴。 同理