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精品论文 参考文献 浅谈恒成立问题的解题方法 谢春雷　江苏省灌云高级中学　222200 函数与不等式既是知识的结合，又是数学思想和方法的交汇处，因此成为高考的热点。恒成立问题就是其中一种比较常见的题型。恒成立问题在解法上是灵活多样的，其某些解法及解题思想，对解决其它数学问题也有一定的指导性作用。本文旨在通过对具体问题的解析，来帮助学生加强对这一类问题的掌握。 一、变换主元 例1、设不等式mx2-2x+1-mlt;0对于满足|m|le;2的一切实数m的值都成立，求x的取值范围。 分析：若本题改为“不等式mx2-2x+1-mlt;0对于任意的实数x恒成立，求m的取值范围”，则问题可化归为文[1]中的例2进行求解。但对于本题学生则难于下手，这是因为学生的思维定势，将x看成自变量，m看成是参数，求解确实困难。但如果我们能够换位思考，变换主元，将m看成自变量，x看成是参数，将原不等式变形为（x2-1）m+1-2xlt;0，这样就可以将问题转化为关于m的一元一次不等式来求解，则问题可迎刃而解。 解：原不等式转化为（x2-1）m+1-2xlt;0，记f（m）=（x2-1）m+（1-2x），其中-2le;mle;2。 根据题意得 说明：本题将m视为主变量，则f（m）的图像是一条线段，即f（m）为一次函数，可利用一次函数的单调性求解。 二、巧用等号 例2、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像过点（-1，０），问是否存在常数a、b、c使得对于任意的x，不等式xle;f（x）le;（1+x2）恒成立？ 分析（一）：本题也为恒成立问题，需将不等式xle;f（x）le;　（1+x2）看成“对于任意的x，xle;f（x）与f（x）le;（1+x2）同时恒成立”，故需两次利用恒成立思想来求解。 解：由题意知：对于任意的x，x-f（x）le;0与f（x）-　（1+x2）le;0恒成立， 即ax2+（b-1）x+cge;0……（1）与x2+bx+c-　le;0……（２）恒成立。 又函数f（x）=ax2+bx+c的图像过点（-1，0），故a-b+c=0，即a+c=b。 所以a=c，2（a+c）-1=0。 所以存在常数a=c=　、b=　满足题意。 分析（二）：如果我们能观察不等式xle;f（x）le;　（1+x2） 的特征，巧妙利用其中的两个等号，则问题将会变得简单得多。 解：因为函数f（x）=ax2+bx+c的图像过点（-1，０），故a-b+c=0……（１）。 当x=1时，1le;f（1）=a+b+cle;1，所以a+b+c=1……（2）。由（１）、（２）得：b=　，a+c=　， 所以f（x）=ax2+　x+　-a。又因为x-f（x）le;0对于任意的x恒成立，所以ax2-　x+　-age;0恒成立。 所以存在常数满足题意。 说明：在第二种方法中，我们是通过利用不等式中的等号，快速简单地求出从而达到化简解题过程的目的。 三、利用最值 例3、定义在（-infin;，3]上的减函数f（x）使得f（a2-sinx）le;f（a+1+cos2x）对一切xisin;R成立，求实数a的取值范围。 分析：本题可先利用函数的单调性去掉对应法则f，得a+1+cos2xle;a2-sinxle;3，再利用恒成立知识去求解，其中用到了函数的最值思想。 解：由题意知只要a+1+cos2xle;a2-sinxle;3恒成立。由a+1+cos2xle;a2-sinx，得a2-a-　ge;-（sinx-　）2。由a2-sinxle;3得a2-3le;sinx。 说明：“f（a）le;g（x）或f（a）ge;g（x）对于给定区间上的一切x恒成立” 问题，实际上最终可转化为求函数在给定区间上的最小值或最大值???题，即f（a）le;gmin（x）或f（a）ge;gmax（x），然后再解相应的不等式即可。其中也用到了分离常数这一思想。 四、数形结合 例4、若不等式x2-logaxlt;0在区间（0，　）内恒成立，求实数a的取值范围。 分析：本题为超越不等式，其中既有二次函数，又有对数函数，因此难以用常规方法来求实数a的取值范围。将不等式x2-logaxlt;0转化为x2lt;logax在区间内恒成立，因此可以考虑画出函数f1（x）=x2与f2（x）=logax的图像，然后观察当a为