高等数学教学教案§12 数列的极限.docVIP

§1.2 数列的极限 授课次序02 教 学 基 本 指 标 教学课题 §1.2 数列的极限 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 数列极限的概念与性质 教学难点 概念的引入、极限的证明与性质的推导 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 数列：sequence；极限：limit；极限值：limit value ；常量：constant quantity； 发散：diverge；收敛：converge 课堂教学目标 了解数列极限的概念，知道极限的ε－Ν定义（对于给出的ε求N的题不作要求） 理解数列极限的基本性质 教学过程 1．数列极限的定义（25min），（1）从几个古典问题（芝洛悖论、截丈问题）入手引出从有限到无限人类思维过程中遇到的困难，（2）再从割圆术入手引出数列、数列极限的朴素定义；（3）通过对数列特征的观察，逐步引出数列极限的定义； 2．应用定义证明极限（20min）介绍几种重要的数列的极限的证明过程，让学生明白基本过程。 3．收敛数列的性质（唯一性、有界性）（45min） 本 节 课 程 设 计 1、极限概念 背景知识与引入方法 极限概念是微积分理论中最核心的概念，极限方法是数学中最重要的思想方法，也是基本的推理工具. 可以说，没有极限概念，就不可能有高等数学的严谨结构。理解极限概念，才能理解导数、微分、积分、级数等微积分中的其它核心内容。 极限的本质是用“变化”的思想和“逼近”的思想研究函数的变化性态。极限概念的建立是从常量过渡到变量、从有限过渡到无限、从初等数学过渡到高等数学的关键。 极限思想源远流长。 我国古代庄子（公元前355-275年，另一说为公元前369-286年）的“截杖说”，汉代刘徽（公元三世纪）的“割圆术”,都体现出朴素的极限思想。刘徽是我国第一位用极限思想来考虑问题的科学家，他从圆内接六边形开始，每次把边数加倍，利用勾股定理求出正12边形，24边形，……，直到正192边形的面积，求出了圆周率, 后来又计算到圆内接3072边形面积，得到，奠定了中国科学家在数学史中的地位。 在欧洲古希腊时期就萌芽出了“穷竭法”。柏拉图（Plato，公元前430-349年）的学生攸多克萨斯（Eudoxus,公元前408-355年）用“穷竭法”证明了一个极端重要的命题：“取去一半之量，再取去所余之一半，这样继续下去，可以使所余的量小于另一个任意给定的量”,这正是近代极限论的雏形。 尽管古今中外的学者们曾经有意无意地使用了极限方法，但是极限概念的形成却走过了一段相当漫长的艰苦历程. 在十七世纪微积分诞生的初期，数学家们一直觉得极限概念玄妙而不可捉摸，什么是极限还十分模糊。自十七世纪中叶微积分建立之后，微积分飞速向前发展，十八世纪达到空前灿烂的程度，其内容之丰富，应用之广泛，简直令人眼花缭乱。她的进步如此快，使人们来不及梳理一下这门伟大科学的理论基础，由于对极限概念的理解十分混乱，使微积分遭受到种种非难。十九世纪初，许多迫切问题基本上得到解决，数学家开始转向重建数学基础的工作。 十九世纪，法国数学家柯西 ( Cauchy Augustin Louis,1789-1857) 出版了他的三部代表作: 《《《1821年, 他在《 定义，从而使极限概念摆脱了依赖几何直观的俗习，摆脱了“无限趋近”、“想要多小就有多小”等提法的不明确性,极限概念被严密化，成为微积分学的坚实的基础工具。此定义仍普遍沿用，也就是我们今天教材中采用的定义。 建议本节内容从朴素直观的极限例子开始, 揭示极限思想,并不断严密化、抽象化、数学化，提炼极限语言， 最后给出、 语言的极限定义。 讲解方法 方法１ 首先从具体例子引出函数极限的形象的、说明性的直观定义，然后在将其逐渐完善，最终得到函数极限的定义．此后将数列极限作为函数极限的特例给出． 方法２ 首先从具体的数列极限的例子出发，观察数列的变化趋势，从中找出数列{}以某个常数A为极限的特征．将形象的、说明性的直观语言逐渐完善，最终得到数列的极限定义．此后再将数列极限拓广到函数极限的定义．下面我们主要采用第2种方法． 难点及解决方法 本知识点的难点：使用, ,定义证明,难点在于理解的存在性在证明中所起的逻辑作用。 解决的主要方法：（1）首先要整理好思路，理顺逻辑关系。不管进行了多么复杂的运算过程，要牢牢把握住四个关键词：任给…，存在…，当…时，恒有…。只有这四个关键词组成逻辑锁链时，证明才算完成。（2）要特别注意所选择的只能与有关，决不能与自变量有关。这样，当给定时，自然也就存在了．（3）要注意的不唯一性，只要存在即可，不要追求最严格和最精确. 对不等式进行