高等数学电子教案：第7章 微分方程.docVIP

章节 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 §2可分离变量微分方程 课时 2 教 学 目 的 掌握微分方程的基本概念，可分离变量微分方程的解法 教学 重点 及 突出 方法 可分离变量微分方程的解法 教学 难点 及 突破 方法 可分离变量微分方程的解法 相关 参考 资料 《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 7.1 ?微分方程的基本概念 在许多科技领域里，常会遇到这样的问题：?? 某个函数是怎样的并不知道，但根据科技领域的普遍规律，却可以知道这个未知函数及其导数与自变量之间会满足某种关系。下面我们先来看一个例子：?? 例题：已知一条曲线过点(1,2)，且在该直线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程?? 解答：设所求曲线的方程为y=y(x)，我们根据导数的几何意义，可知y=y(x)应满足方程：?????????? 我们发现这个方程中含有未知函数y的导数。这里我们先不求解。微分方程的概念?? 我们把含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。?? 在一个微分方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶。当然阶数越高的微分方程越麻烦。?? 从微分方程求出未知函数是什么就叫做解微分方程。满足微分方程的函数（它要在某区间上连续）称为微分方程的解，微分方程的一般形式的解称为微分方程的一般解.?? 满足微分方程的一个有特殊要求的解称为微分方程的一特解，这种特解通常是满足一定的附加条件的解。?? 通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常数，其个数与微分方程的阶数相同，因此用来确定任意常数以从一般解得出一个特解的附加条件的个数也与微分方程的阶数相同. .2 ? 可分离变量的微分方程 一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx (＊)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那末原方程就称为可分离变量的微分方程。 那么我们将怎样解可分离变量的微分方程？通常我们采用两边积分的方法求解。 假定方程（＊）中的函数g(y)和f(x)是连续的。设 是方程（＊）的解，将它代入（＊）中得到恒等式 将上式两端积分，并由引进变量y ，得 设G(y )及F(x)依次为g(y) 及f(x)的原函数，于是有 G(y)=F(x)+C 因此，方程（＊）的解满足上式。 章节 第七章微分方程 §3 齐次方程 课时 2 教 学 目 的 掌握齐次微分方程的计算 教学 重点 及 突出 方法 齐次微分方程的计算 教学 难点 及 突破 方法 齐次微分方程的计算 相关 参考 资料 《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社， 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 齐次方程的定义： 如果一阶微分方程 中的函数可写成的函数，即，则称这方程为齐次方程。齐次方程的解法： 在齐次方程 （1）中，引进新的未知函数（2）就可化为可分离变量的方程。因为由（2）有代入方程（1），便得方程 即 分离变量，得 两端积分，得 求出积分后，再用 代替u，便得所给齐次方程的通解。 例解方程 解 原方程可写成因此是齐次方程。令，则， 于是原方程为 ；即 。 分离变量，得两端积分，得 或写为以代入上式中的u，便得所给方程的通解为 。 章节 第七章微分方程 §4 一阶线性微分方程 课时 2 教 学 目 的 掌握一阶线性微分方程的计算 教学 重点 及 突出 方法 一阶线性微分方程的计算 教学 难点 及 突破 方法 待定系数法 相关 参考 资料 《高等数学（第三册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社 《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社 教 学 过 程 教学思路、主要环节、主要内容 一阶线性微分方程 定义：方程 （1）叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程。如果Q(x)＝0 则方程（1）称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则方程（1）称为非齐次的。 非齐次线性方程的解法 在（1）中，如Q(x)≠0，我们先把Q(x)换成零而写出 （2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程。方程（2）是可分离变量的，分离变量后得，两端积分，得，或 ，这是对应的齐次线性方程（2）的通解。 现在我们用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解。把（2）的通解中的C换成x的未知函数u(x),即作变换 ， （3）于是 .（4） 将（3）和（