高等代数第5章习题解.docVIP

第五章习题解答 习题5.1 1、用消元法解下列线性方程组: (1) (2) (3) (4) 解：（1） 原方程组无解。 （2） 所以 （3） 即 所以原方程组的通解为： （4） 所以有即方程组的通解为 2、当a、b取何值时,下列线性方程组有解,并求其解。 (1) (2) 解（1） 所以当时方程组有无穷多解。此时方程组的通解为 （2）对增广矩阵施行行变换： 所以当时，方程组有解。此时通解为 3、当λ取何值时，下列线性方程组有解、有无穷多解、无解？ （1） （2） 解：（1） 所以当时，方程组无解；当时方程组有无穷多解；当且时，方程组有唯一解。 （2） ，当时，方程组无解； 当时，上面的矩阵继续变换成： ，此时时方程组无解；当时，方程组有唯一解。 综上所述，当或时方程组无解；当且时方程组有唯一解。 4、当λ取何值时，下列齐次线性方程组有非零解？ （1） （2） 解：（1） 所以当或时，方程组有非零解。 （2） 所以当或时，方程组有非零解。 习题5.2 1、求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并写出全部解 （1） （2） 解：（1） 分别取和，得基础解系为 全部解为 （2） 分别取和，得基础解系为 全部解为 2、判断下列线性方程组是否有解：如有解，求出它的全部解 （1） （2） 解：（1） 所以方程组的全部解为 （2） 原方程组可以写成 所以方程组的全部解为 3、试证明：如果是方程组 的解，那么也是该方程组的解，其中满足 证明：记 则方程组用矩阵形式表示为，依题意有 那么 所以，也是该方程组的解 4、如果是某个齐次线性方程组的基础解系，试问：是否也是该方程组的一个基础解系？ 解：答案是肯定的，事实上是某个齐次线性方程组的基础解系，则线性无关，，此时也线性无关， 并且 设是的任意解，而 即的任意解都可以由线性表示， 所以也是该方程组的一个基础解系。 5、证明齐次线性方程组 的任意个线性无关的解都是它的一个基础解系，这里r是系数矩阵A的秩。 证明：设是所给方程组的一个基础解系，是它的任意个线性无关的解，则可以由线性表出，由§4.3的习题5知这两个向量组等价，从而也是方程组的基础解系。 6、证明线性方程组 有唯一解的充分必要条件是它的导出组 只有零解。 [注]：这是一个错题，充分性不成立。 证明：由于所给方程组只有唯一解，所以它的系数矩阵和增广矩阵的秩都必然为n，此时应有。那么对应的齐次方程组中，必然有个方程是由其余方程通过初等变换得到的，去掉这个方程后，剩余的n元n个齐次方程构成的方程组的系数行列式不为零，所以它只有零解。 充分性不成立。事实上：下面的非齐次线性方程组的导出组只有零解，但方程组本身却无解。