高等数学教学教案§2 5函数的微分.docVIP

§2. 5 函数的微分 授课次序15 教 学 基 本 指 标 教学课题 §2.5 函数的微分 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 微分的概念，函数的微分法则 教学难点 微分的四则运算法则；一阶微分形式的不变性 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 导数：derivative；连续性：continuity；连续函数：continuous function ； 斜率：slope ；微分：differential calculus；阶：order ； 切线：tangent line；切线方程：tangential equation；法线：normal line 课堂教学目标 了解微分的四则运算法则，会求函数的微分； 一阶微分形式的不变性， 初步了解微分在近似计算中的应用 教学过程 1．函数极限的定义（35min），着重介绍两种不同的趋势下极限的不同形式； 2．应用定义证明极限（20min）介绍几种极限的证明过程，让学生明白基本过程。 3．左右极限的定义及与函数极限的关系（10min） 4．收敛数列的性质（唯一性、有界性）（25min） 本 节 教 学 设 计 微分定义本知识点的背景知识 微分的概念从萌发到完整，其严格化经历了几个世纪. 即使在积分蓬勃发展的牛顿—莱布尼茨—欧拉时代，数学家们尽管能用微分进行近似计算布列并求解微分方程，但由于无穷小量的概念尚未精确化，微分的概念并不明晰；直到19世纪，数学的严格性发展到了新的高度，微分的概念才被确切地理解. 本知识点的多种讲解方法 解方法一从纯分析的角度来研究函数的改变量(y与自变量的增量(x的依赖关系，而引出微分定义. 设y=f（x），axb，取及x0→x0+(x（(x≠0），则函数有改变量(y=f（x0+(x）( f（x0，(y依赖于三个要素：函数f，点x0及(x. 当取定函数f固定x0则(y依赖于(x. 一般依赖关系复杂、多样. 但是在局部范围内，当|(x|很小时，则可用一个线性化来近似. 即(y=A((x+(x). 定义：设函数y=f（x），axb，固定一点. 若(y = f（x0+(x）(f（x0）= A((x + o (x) …… （）成立（其中，A与(x无关）. 则称函数y=f（x）在点x0可微，称A((x为函数在点x0的微分，即为dy = A((x若（）不成立，则称y = f（x）在点x0不可微. 规定：自变量的微分，就是它的增量，即dx = (x ( dy = A(dx. 讲解方法二 由于导数与微分都是研究函数增量(y与变量增量(x之间的运算关系，在已有导数概念的前提下，利用导数作为变化量之比极限的数量表现，而进行函数关系的运算引出微分定义. 由函数y = f（x）在点x0处的导数, 其中，于是(y=fˊ(x0) (x+(x α（(x），记(x) = (x α（(x），则 当f（x）在x0处可导时，(y是 (x与(x)之和，记，则与(x相比为高阶无穷小（(x→0），这里把叫做微分. 定义：设y=f（x）在区间I有定义，，若存在关于(x的线性函数A(x（A是与(x无关的常数），使，则称f在x0处可微，称A(x为f在x0处的微分，记作 若f在区间I的每一点可微，则称f在I上可微. 在曲线切点的小邻域内，函数值y = f（x）可用切线上相应点的纵坐标值来近似，而引出微分概念. 如果函数y=f（x）在点x处有导数存在，则函数曲线在相应点P(x, y)斜率为的唯一确定的切线存在. 切线在切点P(x,y)附近与曲线密合，并且在相当靠近切点的地方，密合得难以区分. 这在分析上意味着在点x的小邻域内，函数值y = f（x）可用切线上相应点的纵坐标值来近似. 而在x充分小的邻域内，近似误差R与(x相比是微不足道的. 事实上, ， 由于存在，就有 ，. 这样，函数的改变量(y就被分解成了两部分之和，其中第一项线性地依赖于(x，而它与(y相差是关于(x的高阶无穷小量，即当很小时，舍弃这个微不足道的误差，剩下的部分就是可以作为(y的近似值. 这一项被称为(y的线性主要部分. 定义：自变量x的变化量(x与x是无关的，称为自变量的微分，记为dx；而因变量相应的变化量(y的线性主要部分则称为函数y=f（x）在点x处相应于自变量的变化量(x的微分，用df（x）或dy表示，即： . 讲解方法四 引进实际问题，由研究函数的改变量 (y = f（x0+(x）( f（x0）与自变量改变量 (x之间的关系，计算函数改变量的大小，引发出微分的根本思想是在局部范围内用线性函数来近似函数的本质. 例如： 计算正方形面积增量 (S=