高等数学教学教案§8 6空间直线及其方程.docVIP

§8( 6 空间直线及其方程 授课次序52 教 学 基 本 指 标 教学课题 §8( 6 空间直线及其方程 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 直线及其方程 教学难点 平面、直线的相互关系 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 坐标轴：axis of coordinates；横坐标：abscissa；纵坐标：ordinate； 螺旋线：helices； 曲线：curve；曲面：surface ；锐角：acute angle；钝角：obtuse angle；平角：straight angle； 直角：right angle 课堂教学目标 掌握直线方程及其求法， 会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题 教学过程 1．直线方程（35min）； 2．平面、直线的相互关系（30min）； 3．杂题选编（25min） 教 学 基 本 内 容 §8( 6 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线L可以看作是两个平面(1和(2的交线( ? 如果两个相交平面(1和(2的方程分别为A1x(B1y(C1z(D1(0和A2x(B2y(C2z(D2(0( 那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程( 即应满足方程组? (1) 反过来( 如果点M不在直线L上( 那么它不可能同时在平面(1和(2上( 所以它的坐标不满足方程组(1)( 因此( 直线L可以用方程组(1)来表示( 方程组(1)叫做空间直线的一般方程( 设直线L是平面(1与平面(2的交线? 平面的方程分别为A1x(B1y(C1z(D1(0和A2x(B2y(C2z(D2(0( 那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上? 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程? 即满足方程组 ( 因此( 直线L可以用上述方程组来表示( 上述方程组叫做空间直线的一般方程( 通过空间一直线L的平面有无限多个( 只要在这无限多个平面中任意选取两个( 把它们的方程联立起来( 所得的方程组就表示空间直线L( 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量???如果一个非零向量平行于一条已知直线( 这个向量就叫做这条直线的方向向量( 容易知道( 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量( 确定直线的条件???当直线L上一点M 0(x0( y0( x0)和它的一方向向量s?(?(m( n( p)为已知时( 直线L的位置就完全确定了( 直线方程的确定???已知直线L通过点M0(x0( y0( x0)? 且直线的方向向量为s?(?(m( n( p)( 求直线L? 设M (x( y( z)在直线L上的任一点( 则 (x(x0( y(y0( z(z0)//s?( 从而有 ?? 这L的方程( 叫做直线的对称式方程或点向式方程( 注( 当m( n( p中有一个为零( 例如m(0( 而n( p(0时( 这方程组应理解为 ( 当m( n( p中有两个为零( 例如m(n(0( 而p(0时( 这方程组应理解为 ( 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数( 而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦( 由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程( 设? 得方程组 ( 此方程组就是直线的参数方程( 例1?用对称式方程及参数方程表示直线? 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角( 设直线L1和L2的方向向量分别为s1((m1( n1( p1)和s2((m2( n2( p2)( 那么L1和L2的夹角?就是和两者中的锐角( 因此( 根据两向量的夹角的余弦公式( 直线L1和L2的夹角?可由 来确定( 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论??? 设有两直线L1?? L2?? 则 L 1(L 2(m1m2(n1n2(p1p2(0? L1 ???L2(( 例2 求直线L1:和L2:的夹角( 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时( 直线和它在平面上的投影直线的夹角?称为直线与平面的夹角( 当直线与平面垂直时( 规定直线与平面的夹角为? 设直线的方向向量s((m( n( p)( 平面的法线向量为n((A( B( C)( 直线与平面的夹角为??( 那么( 因此( 按两向量夹角余弦的坐标表示式