高等数学教学教案§11 映射与函数.docVIP

§1.1 映射与函数 授课次序01 教 学 基 本 指 标 教学课题 §1.1 映射与函数 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 函数概念与性质、初等函数 教学难点 函数的几种特性 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 集合：set；元素：element；空集：empty；子集：subset；补集：complement； 区间：interval；闭区间：closed interval；邻域：neighborhood 函数：function；定义域：domain of definition；值域：range of function； 一元函数：function of one variable ；多元函数function of several variables 课堂教学目标 深入理解函数的概念，深入理解分段函数、复合函数的概念。理解复合函数的复合过程。 2．熟练掌握基本初等函数及其图形，会从简单问题的分析中建立出一个数学模型 教学过程 1．课程开始前的讲话（10min讲解课程性质，提点学习方法，动员学生积极投入新课程的学习）2．集合的概念（5min）3．映射的概念（5min）4．函数的概念（10min）5．函数的特性（15min）6．复合函数与反函数（15min）7．基本初等函数的性质及图形（15min）8．初等数学模型（15min）。 本 节 教 学 设 计 1、集合概念及其运算 知识点：集合的概念与表示方法、集合的关系与运算 背景知识与引入方法 “集合”是数学中一个最基本的概念。 19世纪70年代德国数学家康托（G. Cantor，1845-1918）创立集合论之后，集合几乎成为一切数学分支中的基本术语。 “集合”是一个不言自明的最基本概念。像数学中“点”和 “线”概念一样，集合本身是一个“不定义”的概念，往往是通过一些直观表述来说明什么是集合。通常我们把“具有某种特定性质的具体的或抽象的事物所组成的总体”称为集合，该总体中的每一个成员称为这个集合的元素。其实，想把“集合”是什么说得很清楚，也并不容易。有人曾提问“由所有不是集合自身元素的事物组成的总体是不是一个集合？”——即所谓集合悖论（参看扩展知识：罗素悖论）。 鉴于“集合”概念的基础性和直观性，建议在高等数学课程中开门见山地利用实例引入集合概念。进而引入集合的关系与运算，建立各种运算法则，介绍与本课程有关的各种概念和术语。文氏图是描述集合的关系与运算的一种直观方法，建议使用文氏图做辅助说明。 该知识点讲解方法 讲解方法一：淡化处理方式 较早期的高等数学或数学分析教科书中，基本不涉及集合的概念，如江泽坚《数学分析》，复旦大学《数学分析》，P. Lax 《微积分及其应用与计算》等。这些教科书采用的体系是：首先介绍“变量”概念，引入“实数轴”特性，直接利用不等式描述区间、邻域等基本概念。鉴于集合论在近代数学理论中的基础作用，在高等数学中回避集合概念，将会使学生知识结构不够完整，形成数学基本知识上的空白。 讲解方法二：简要处理方式 21世纪理工科大学生的数学知识结构中，了解集合概念、掌握集合之间的关系与运算是不可或缺的，甚至现在的中学教科书也已经开始使用集合术语，进行集合概念的启蒙教育。在进入大学后的第一门数学课 —— 高等数学课程中较为系统地介绍集合论初步知识是必要的和可行的。 问题是在本课程中涉及多少集合论内容比较合适？涉及的深浅程度如何？ 考虑到学时的制约和课程的主要内容并非以集合为基本工具，可以采用“简要处理”的方式进行教学：罗列出集合的主要概念和法则，不加证明，而是通过实例加以说明，也不作更深入的引导。同济大学《高等数学（第四版）》等许多教科书都采用了这样的做法。对集合概念作最简单的描述，简要介绍集合运算及相应的运算法则，迅速过渡到“区间”和“邻域”概念。 讲解方法三：略深化的处理方式 纵观工科数学的教学体系，会发现集合的思想和集合论这一重要工具其实是支离破碎的，没有哪一门课程对其作过较为系统的介绍。我们认为在高等数学中完成这一任务，可能是“义不容辞”的，还可以在概率统计课程中再进行深化和具体应用，这也符合认识规律。因此，根据不同学校的不同层次，也可以适当多介绍一些集合论的内容与方法。《工科数学分析》等教材采用了这样的处理方法。主要强调了集合的运算公式和集合等式的证明，并介绍了比较重要的“对偶原理”。 3．难点问题及解决方法 本知识点的难点： 集合运算。 解决的主要方法： 掌握集合运算律，需要有一定的练习强度。通过设计较适用的练习题来解决。 4．与其他知识点的关联 集合概念提供高等数学的基本术语和基本表述