高等数学教学教案§5 7反常积分.docVIP

§5( 7 反常积分 授课次序34 教 学 基 本 指 标 教学课题 §5( 7 反常积分 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 反常积分 教学难点 反常积分的概念与计算 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 函数：function；极限：limit；定积分：definite integral 课堂教学目标 了解反常积分的概念 会计算简单反常积分。 教学过程 1．无穷限反常积分的概念（20min）； 2．无穷限反常积分的计算（25min）； 3．无界函数反常积分的定义（20min） 4．无界函数反常积分的计算（25min） 教 学 基 本 内 容 §5( 7 反常积分 一、无穷限的反常积分 定义1 设函数f(x)在区间[a( (()上连续( 取ba ( 如果极限 存在( 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a( (()上的反常积分( 记作( 即 ( 这时也称反常积分收敛(? 如果上述极限不存在( 函数f(x)在无穷区间[a( (()上的反常积分就没有意义( 此时称反常积分发散( 类似地( 设函数f(x)在区间(((( b ]上连续( 如果极限(ab) 存在( 则称此极限为函数f(x)在无穷区间(((( b ]上的反常积分( 记作( 即 ( 这时也称反常积分收敛(?如果上述极限不存在( 则称反常积分发散( 设函数f(x)在区间(((( (()上连续( 如果反常积分 和 都收敛( 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间(((( (()上的反常积分( 记作( 即( 这时也称反常积分收敛( 如果上式右端有一个反常积分发散( 则称反常积分发散( 定义1( 连续函数f(x)在区间[a( (()上的反常积分定义为 ( 在反常积分的定义式中( 如果极限存在( 则称此反常积分收敛(??否则( 类似地( 连续函数f(x)在区间(((( b]上和在区间(((( (()上的反常积分定义为 ( ( 反常积分的计算( 如果F(x)是f(x)的原函数( 则 ( 可采用如下简记形式( ( 类似地 ( ( 例1 计算反常积分( 解 ( 例2 计算反常积分 (p是常数( 且p0)( 解 ( 提示( ( 例3 讨论反常积分(a0)的敛散性( 解 当p(1时( ( 当p1时( ( 当p1时( ( 因此( 当p1时( 此反常积分收敛( 其值为( 当p(1时( 此反常积分发散( 二、无界函数的反常积分 定义2 设函数f(x)在区间(a( b]上连续( 而在点a的右邻域内无界( 取(0( 如果极限存在( 则称此极限为函数f(x)在(a( b]上的反常积分( 仍然记作( 即( 这时也称反常积分收敛( 如果上述极限不存在( 就称反常积分发散( 类似地( 设函数f(x)在区间[a( b)上连续( 而在点b 的左邻域内无界( 取(0( 如果极限存在( 则称此极限为函数f(x)在[a( b)上的反常积分( 仍然记作( 即( 这时也称反常积分收敛( 如果上述极限不存在( 就称反常积分发散( 设函数f(x)在区间[a( b]上除点c(acb)外连续( 而在点c的邻域内无界( 如果两个反常积分与都收敛( 则定义( 否则( 就称反常积分发散( 瑕点( 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界( 那么点a称为函数f(x)的瑕点( 也称为无界 定义2( 设函数f(x)在区间(a( b]上连续( 点a为f(x)的瑕点( 函数f(x)在(a( b]上的反常积分定义为( 在反常积分的定义式中( 如果极限存在( 则称此反常积分收敛(??否则( 类似地(函数f(x)在[a( b)(b为瑕点)上的反常积分定义为( 函数f(x)在[a( c)((c( b] (c为瑕点)上的反常积分定义为 ( 反常积分的计算( 如果F(x)为f(x)的原函数( 则有 ( 可采用如下简记形式( ( 类似地( 有 ( 当a为瑕点时(( 当b为瑕点时(( 当c (a(c(b )为瑕点时( ( 例4 计算反常积分( 解 因为( 所以点a为被积函数的瑕点( ( 例5 讨论反常积分的收敛性( 解 函数在区间[(1( 1