高等数学教学教案§4 2换元积分法.docVIP

§4( 2 换元积分法 授课次序27 教 学 基 本 指 标 教学课题 §4( 2 换元积分法 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 换元积分法 教学难点 换元积分法的推导与应用 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 函数：function；不定积分：indefinite integral 课堂教学目标 了解不定积分的换元积分法 会使用不定积分的换元积分法 教学过程 1．第一类换元积分法（55min）； 2．第二类换元积分法（35min） 教 学 基 本 内 容 §4( 2 换元积分法 一、第一类换元法 设f(u)有原函数F(u)( u(?(x)( 且?(x)可微( 那么( 根据复合函数微分法( 有 d F[?(x) ](d F(u)(F ((u)d u( F( [?(x) ] d?(x)( F ([?(x) ]?((x)d x ( 所以 F ([?(x)]?((x)dx( F ([?(x)] d?(x)( F ((u)d u( d F(u)(d F[?(x) ]( 因此 ( 即 ([F(u) (C] u ( ?(x) ( F[?(x)](C( 定理1 设f(u)具有原函数( u(?(x)可导( 则有换元公式 ( 被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待( 从而微分等式?((x)dx (du可以应用到被积表达式中( 在求积分时( 如果函数g(x)可以化为g(x)( f[?(x)]?((x)的形式( 那么 ( 例1. (sin 2x(C ( 例2. ( 例3. ( 例4. ( 例5. ??(ln|cos x|(C ( 即 ( 类似地可得( 熟练之后( 变量代换就不必再写出了( 例6. ( 即 ( 例7. ( 例8. 当a(0时, ( 即 ( 例9. ( 即 ( 例10. ( 例11. ( 含三角函数的积分( 例12. ( 例13. (? 例14. ( 例15. ( 例16. ( 例17. (ln |csc x (cot x |(C ( 即 (ln |csc x (cot x |(C ( 例18. (ln |sec x ( tan x | ( C( 即 (ln |sec x ( tan x | ( C( 二、第二类换元法 定理2 设x (?(t)是单调的、可导的函数( 并且?((t)(0( 又设f [?(t)]?((t)具有原函数F(t)( 则有换元公式( 其中t(???(x)是x(?(t)的反函数( 这是因为 ( 例19. 求(a0)( 解: 设x(a sin t ( ( 那么( dx (a cos t d t ( 于是 ( 因为, ( 所以 ( 提示:( dx(acos tdt ( , ( 例20. 求(a0)( 解法一( 设x(a tan t( ( 那么 (a sec t ( dx(a sec 2t d t ( 于是 ( ln |sec t ( tan t |(C ( 因为( ( 所以 ( ln |sec t ( tan t |(C( 其中C 1(C(ln a ( 提示:(asect ( dx(a sec 2t dt ( ( ( 解法二: 设x(a sh t ( 那么 ( 其中C 1(C(ln a ( 提示: (a ch t ( dx (a ch t d t ( 例23. 求(a0)( 解: 当xa 时( 设x(a sec t ()( 那么 (a tan t ( 于是( ln |sec t ( tan t |(C ( 因为( ( 所以 ( ln |sec t ( tan t |(C ( 其中C 1(C(ln a (