高等数学教学教案§21导数概念.docVIP

§2.1 导数概念 授课次序10 教 学 基 本 指 标 教学课题 §2.1 导数概念 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 导数的概念及计算 教学难点 应用定义求导数 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业 双语教学 导数：derivative；连续性：continuity；连续函数：continuous function ； 斜率：slope ；微分：differential calculus；阶：order ； 切线：tangent line；切线方程：tangential equation；法线：normal line 课堂教学目标 理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程， 了解导数的物理意义，会用导数描述简单物理量， 理解函数的可导性与连续性之间的关系。 教学过程 1．导数概念的引入（20min）； 2．导数的概念（10min）； 3．应用定义求导数（35min） 4．单侧导数的定义及与函数导数的关系（10min） 4．可导与连续的关系（15min） 本 节 课 程 设 计 导数概念 背景知识与引入方法 导数是微分学的核心概念. 导数概念的发生首先源于许多世纪以来对非匀速运动的速度及曲线的切线的切线方向两个问题进行探索的结果. 例如： 牛顿 (Newton，1642—1727)从质点运动速度入手，研究导数问题：设想有一沿直线运动的质点，在时刻t距原始出发点之距离为. 问其在t0时刻时的速度为多少？ 牛顿的办法如下：他考虑t0时刻之后一个极短的瞬间d t，在这一瞬间质点所走的路程为 这样，在这一瞬间的平均速度应该是 由于这一瞬间极短，可以认为d t = 0，于是质点在t0时刻的速度就是. 牛顿称为函数在t0时的流数. 后来人们把它称为微商. 值得注意的是，当dt=0时，质点将没有移动距离，没有运动，也就无所谓速度. 另一方面，容易算出平均速度为 这样“可怕”的等式. 莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）最初研究曲线的切线斜率时，也遇到了类似的情形. 特殊的例子造成的“可怕”的等式，反映了微分在它发明的初期有严重的逻辑混乱. 当时，无论是牛顿还是莱布尼兹都无法对他们称为无穷小量的“一瞬间”dt到底是零还是非零提供合理的解释. 但是，无论如何，牛顿与莱布尼兹首先破天荒地描述了因变量在一个短暂瞬间相对于自变量的变化率问题. 牛顿和莱布尼兹以及与它们同时代的人很少在逻辑上给一个伟大的数学发明确定根据，而那时候的数学家们也意识到这一点，并在他们当时的相互通信中, 对一些模糊不清问题进行了激烈地争论. 那时候，（十七与十八世纪的）数学家们紧密地把自己的纯粹数学活动跟各种不同自然领域（物理、力学、化学、技术）中的研究活动联系起来. 经过一百多年诸多科学家的共同努力，微积分初期的逻辑混乱才得以澄清. 如上述问题的关键之处在于将无穷小量看作是一个趋于零的变量，而不是看成一个固定的量. 相应，把微商看作是一个极限，即当 时就实现了平均速度向瞬时速度的飞跃. 这里应该提到的是，直到柯西 (Cauchy，1789—1857)在十九世纪初为极限建立了严格的理论，微积分才有了严格的理论基础. 数学问题的提出一般地是出于实际问题的需要. 导数概念的产生也是由研究如何确定非匀速直线运动质点的瞬时速度与平面曲线上一点处的切线引出的. 尽管这两个有着不同的物理或几何方面的背景，但研究结果表明在数量关系上并没有区别，涉及的运算也是相同的. 紧紧抓住“函数增量跟自变量增量h之比在时的极限”这一关键, 从而给出抽象函数的导数定义，这实际上也同时给出了导数定义为什么这么构造的道理. 历史的回顾 Newton第一定律 任何物体在没受外力之前将保持静止或者匀速直线运动状态. Newton第二定律 — 力产生了加速度. 万有引力定律 Newton坚信，太阳系中的行星一定遵循某种运动规律. 为了证实他的想法，他首先研究了星际的作用力，并发现了万有引力定律. 上式左边的是万有引力，它的大小与方向都是很清楚的. 所以Newton迫切需要解决的问题是：行星运动的加速度a是多少？ 解决方法 由“任何平面运动都可以分解成两个正交方向上的直线运动”这一关键，将复杂的问题化简. 这样，以太阳为原点，以行星运行的平面为xOy平面， 建立一个硕大的直角坐标系， 则行星的在xOy平面中的坐标（x,y）就是两个变速直线运动了. 因此只要把变速直线运动搞清楚了，任何曲线运动的规律也就清楚了. 什么是变速直线运动的加速度？回忆匀加速情况下的加速度为: ; 再回忆匀速情况下，速度的定义: ;