2018年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 平面与平面垂直的性质教案 新人教A版必修2.docVIP

2.3.4 平面与平面垂直的性质空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范. 空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理. 三维目标 1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 重点难点 教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 课时安排 1课时 教学过程 复习 （1）面面垂直的定义. 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：αβ. 两个平面垂直的判定定理图形表述为： 图1 导入新课 思路1.(情境导入) 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 思路2.(事例导入) 如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂直吗？ 图2 推进新课 新知探究 提出问题 如图3,若αβ,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,AB∩CD=B. 请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系. 图3 用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明. 设平面α平面β,点Pα,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系. 分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点. 总结应用面面垂直的性质定理的口诀. 活动:问题引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系. 问题引导学生进行语言转换. 问题引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系. 问题引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点. 问题引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀. 讨论结果：通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3. 两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4. 图4 两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：ABβ. 两个平面垂直的性质定理证明过程如下： 图5 如图5，已知αβ,α∩β=a,ABα，ABa于B. 求证：ABβ. 证明：在平面β内作BECD垂足为B,则ABE就是二面角αCDβ的平面角. 由αβ,可知ABBE.又ABCD，BE与CD是β内两条相交直线,AB⊥β. ③问题也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为： 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明. 如图6,已知αβ，Pα，Pa，aβ.求证：aα. 图6 证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线bc， α⊥β,∴b⊥β.而aβ，Pa, ∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,直线a应与直线b重合.那么aα. 利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上. 我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理. 应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”. 应用示例 思路1 例1 如图7，已知αβ，aβ,aα,试判断直线a与平面α的位置关系. 图7解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b, α⊥β, ∴b⊥β. ∵a⊥β, ∴a∥b. ∵aα, ∴a∥α. 变式训练 如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)aγ；(2)bγ. 图8 图9 证明：如图9, (1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PMAB，PNAC. ∵γ⊥α，PM⊥α.而aα，PM⊥a. 同理,PNa.又PMγ，PNγ，a⊥γ. (2)在