2017-2018学年度高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数（一）练习 新人教A版选修1-1.docVIP

3.1 变化率与导数（1） A级　基础巩固 一、选择题 1．(2016·山东枣庄高二月考)在物体运动变化过程中，自变量的改变量Δx的取值为(　D　) A．Δx0　　　　　 B．Δx0 C．Δx＝0 D．Δx≠0 [解析]　Δx可正也可负，但是不可以为0，故选D． 2．对于函数y＝，当Δx＝1时，Δy的值是(　D　) A．1 B．－1 C．0 D．不能确定 [解析]　函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因而要求Δy必须指明在哪一点处． 3．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为(　A　) A．f ′(x0)＝ B．f ′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f ′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D．f ′(x0)＝ [解析]　B中[f(x0＋Δx)－f(x0)]表示函数值的变化量的极限；C中f(x0＋Δx)－f(x0)表示函数值的变化量；D中表示函数的平均变化率． 4．(2016·山西临汾高二质检)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　D　) A．－3　　 B．3　　 C．6　　 D．－6 [解析]　当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度是－6. 5．已知f(x)＝x2－3x，则f ′(0)＝(　C　) A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0 [解析]　f ′(0)＝ ＝ ＝ (Δx－3)＝－3.故选C． 6．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　C　) A．f ′(x)＝a B．f ′(x)＝b C．f ′(x0)＝a D．f ′(x0)＝b [解析]　f ′(x0)＝ ＝ ＝ (a＋bΔx)＝a. f ′(x0)＝a. 二、填空题 7．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝__(Δx)2＋6Δx＋12__. [解析]　Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，＝(Δx)2＋6Δx＋12. 8．在自由落体运动中，物体位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式s＝gt2(g＝9.8 m/s2)，试估计t＝3s时物体下落的瞬时速度是__29.4_m/s__. [解析]　从3s到(3＋Δt)s这段时间内位移的增量： Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝4.9(3＋Δt)2－4.9×32 ＝29.4Δt＋4.9(Δt)2， 从而，＝29.4＋4.9Δt.当Δt趋于0时，趋于29.4 m/s. 三、解答题 9．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度. [解析]　由于Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22) ＝3Δt－4Δt－Δt2＝－Δt－Δt2， ＝＝－1－Δt. v＝ ＝ (－1－Δt)＝－1. 物体在t＝2时的瞬时速度为－1. B级　素养提升 一、选择题 1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于(　C　) A．6＋Δt B．12＋Δt＋ C．12＋2Δt D．12 [解析]　＝ ＝12＋2Δt. 2．(2016·山东聊城高二月考)做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是：s＝3t－t2，则它的初速度是(　B　) A．0 B．3 C．－2 D．3－2t [解析]　初速度即为t＝0时的瞬时速度， ＝＝＝3－Δt2. 当Δt趋近于0时，趋近于3，故它的初速度为3. 3．(2016·浙江台州检测)若f(x)在x＝x0处存在导数，则 (　B　) A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h都无关 [解析]　由导数的定义可知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故选B． 4．(2016·安徽淮北高二检测)设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝(　C　) A．－1 B． C．1 D． [解析]　f′(－1)＝ ＝ ＝3a，3a＝3，解得a＝1.故选C． 5．若 ＝1，则 ＝(　D　) A．1 B．－1 C． D．－ [解析]　 ＝ ＝－＝－ ＝－.故选D． 二、填空题 6．已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为__0_m/s__. [解析]　ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4Δt2， ＝＝－4Δt， v＝ ＝ (－4Δt)＝0. 物体在t＝2s时的瞬时速度为0 m/s. 7．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为　　. [解析]　Δy＝π×23－π×13＝， ＝＝. 三、解答题 8．求函数f(x