二重积分的分部积分法.pdfVIP

2009年 11月 绵阳师范学院学报 Nov．20o9 28卷 第 11 JotLmalofMiarIyangNormalUni V01．28 No．11 二重积分的分部积分法 孙幸荣 (黄冈师范学院数学与信息科学学院，湖北黄冈 438000) 摘 要：重积分是高等数学的主要 内容，也是难点内容，其物理意义丰富，应用非常广泛。文章通过对重积分 的计算的分析，应用定积分的分部积分法，含参变量积分的可微性及含参变量累次积分的可微性，推导出二重积分 分部积分法的相关结论。 关键词：分部积分法；二重积分；含参变量积分；可微性 中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-612x(2009)11-0025-03 0 引言 重积分是由一元函数积分推广而来的，但与一元函数积分相比，计算重积分的难易除了与被积函数有 关外，还与积分区域的特点有关，计算重积分的主要方法是化重积分为累次积分，本文主要是应用定积分 的分部积分法，含参变量积分的可微性及含参变量累次积分的可微性，得出二重积分分部积分法的一些结 论。 1 预备知识 为了给出重积分的分部积分法，先引入定积分的分部积分法，含参变量积分的连续性、可微性及含参 变量累次积分的连续性、可微性。 引理l… (分部积分法)若 ()与 ()具有连续的导数，且不积分 ()() 存在，则 ()()也存在，并有 ()()=()()l一r()()，并称此式为分部积分法公式， 简记作 =删 一 d。 引理2 若函数 ，)与其偏导数 都在矩形区域D =[口，6]×[c，]上连续，则含参变量积 分 ，，，)在区间[，6]上可微，且乏 ，，，)=f ，y) 引理3 若函数 ，)，)在 一型区域D= {(，)，)I)，()≤Y≤ ()，a≤ ≤bj上连续， y()，y()为定义在[口，6]上其值域含于[c，d]上的可微函数。则函数 ，)，)连续，且 ，y)dxdy 广6 rr2(x) = JJdxI ，Y)． c JYl() NIN4 设函数厂(，)，)与其偏导数 都在区域D=[，6][c，d]上连续，)，()，y2()为定义在 [口，6]上其值域含于[c，d]上的两个可微函数，则函数F(，，，)=三厂(，y)在[，6]上可微，且 收稿 日期 ：2009-07-25 基金项 目：湖北省教育厅重点科研基金项 目(D2Oo627oo5) 作者简介：孙幸荣 (1978一 )，女，讲师，硕士，主要研究方向：基础数学。 · 26· 绵阳师范学院学报(自然科学版) 第28卷 ，毙t F()Jyl(x ，y)dy+ ：()))，：()一 ，()))，，()· 2 二重积分的分部积分法 定理 1 设，(茗，y)是在D= {口≤ ≤b,yt()≤Y≤Y：()t上的连续可微函数，Y。()、Y2()为 定义[口，b]上的可微函数。如果在区域D上有连续可微函数F(x，Y)满足 F(，，，)+石宣 ； ，)，) ( ) 则 ，y) =三F(茁，)，)I：一r[F(，y())y：()一Fx(,yl())，，()]． 证明 因为 (，y)在区域D上连续可微，Y。()，，，：(菇)，为定义在[口，b]上的可微函数，由引理3得 (，y)dy=r F(，，，)6[1，由引理l、引理2、引理4得： )，) = 一r茗( y) y2(s) = F(，，，)I：一r(： +F(，，，：())y：()一F(()))，()如 = ：F(，，，)I：一r如 一r[F(，，，())，，：(石)一F(())，，()] 而r = 撕 因此 )，)+ ： J厂21：F(，，，)咖I：一f6茗