习题二 概率论.docVIP

第二章 1一袋装有5个球，编号为1，2，3，4，5.从袋中同时取3个球，以表示取出的3个球中的最大号码，写出随机变量的概率分布。 解：表示取出的3个球中的最大号码，则的所有可能值为3，4，5， 的概率分布为 3 4 5 2已知一批产品共20个，其中有4个次品，按两种方式抽样： 不放回抽样，抽取6个产品，求抽得的次品数的概率分布； 放回抽样，抽取6个产品，求抽得的次品数的概率分布。 解：（1）不放回抽样，的所有可能取值为：0，1，2，3，4，的概率分布为： （2）放回抽样，的所有可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，的概率分布为： 3对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为，求射击次数的概率分布。 解：设射击次数为随机变量，则的所有可能取值为1，2，3……，且的概率分布为： 4某射手有5发子弹，连续射击直到击中或子弹用尽为止，每次射击命中率为0.9，求耗用的子弹数的概率分布。 解：的所有可能取值为：1，2，3，4，5. 的概率分布为： 5设随机变量的概率函数为： ，其中是常数，试确定常数a。 解：由概率的规范性知 6一大楼有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的概率分布，并求在同一时刻: 恰有两个设备被使用的概率。 至少有3个设备被使用的概率。 最多有3个设备被使用的概率。 至少有1个设备被使用的概率。 解：设随机变量表示在同一时刻被使用的设备数，则 7．设随机变量，当m为何值时，概率取得最大值？ 解：取得最大值，则它与前一项，后一项的比值都， 即 当是整数时，取或时最大。 当是非整数时，取时取得最大值。 8.有一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆车通过，求出事故的次数不小于2的概率。 解：这天出事故的次数服从泊松分布，且分布的参数故 9.电话站为300个电话用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相应误差。 解：，。 10. 函数是否是连续随机变量x的分布函数，如果x的可能值充满区间：；？ 解：（1）如果x的可能值充满区间，则由分布函数性质， ，所以不是分布函数。 （2）可以， 11.设随机变量的概率密度为求（1）系数；（2）随机变量落在区间内的概率；（3）随机变量的分布函数。 解：（1）由可得所以： （2） （3）当时， 当时， 当时， 12. 设随机变量的概率密度为求的分布函数。 解：当时， 当时， 当时， 13设连续随机变量的分布函数为 求（1）系数；（2）的概率密度；（3）落在区间内的概率。 解：（1）（2）由分布函数求导数得密度函数可得 ，又由密度函数的性质有 即密度函数为： （3） 14公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过3分钟的概率。 解：设乘客到达的时刻为，则则的概率密度函数为： 乘客等候时间不超过3分钟等价于他到达车站的时刻在第2分钟之后，即所求概率为 15某种电子元件的使用寿命（单位：）的概率密度为 求在150内： 3个电子元件中没有一个损坏的概率； 3个电子元件中只有一个损坏的概率； 3个电子元件中全损坏的概率； 解：设分别表示3个电子元件的寿命，要求的三个事件分别是。 16盒子里装有3个黑球，2个白球，2个红球，从其中任取4个球，设表示取得黑球的个数，表示取得红球的个数，求的联合概率分布。 解： 0 1 2 0 0 0 1 0 2 3 0 17把一颗均匀的骰子随机地掷两次，设随机变量表示第一次出现的点数，随机变量表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量的联合概率分布及的边缘分布。 解： 1 2 3 4 5 6 1 2 0 3 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 7 18设随机变量的联合概率密度为 求：（1）常数k；（2） （3） 解：（1）由（2.31）有 （2） （3） 19设二维随机变量在矩形区域：上服从均匀分布，求的联合概率密度及边缘概率密度。随机变量与是否相互独立？ 解： 用同样的方法可求得，所以即 随机变量与相互独立。 20设随机变量与相互独立，求：（1）二维随机变量的联合概率密度；（2）求概率 ，又与相互独立，所以的联合概率密度等于边缘密度函数的乘积，所以 21在第16题中，求： 随机变量在条件下的条件概率分布； 随机变量在条件下的条件概率分布。 解：（1）所以有： 0 1 2 3 0