二阶微分方程解的存在唯一性及解的性质.pdfVIP

第25卷第5期 III两大同大学学报(自然科学版) V01．25．No．5 ofShanxi SriPncel 0cI．20D9 2009年10月 Journal DatongUniversity(Natural 二阶微分方程解的存在唯一性及解的性质 崔亚琼1，宋海竞2 (1．山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009； 2．中北大学经济与管理学院，山西太原030051) 摘要：文中主要利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理以及Sturm比较定理讨论一个二阶常微分方程解 的存在唯一性及解的一些性质． 关键词：二阶常微分方程 解Sturm比较定理 中图分类号：0177 文献标识码：A 文章编号：1674-0874(2009)05--0024--02 1 引言 石’(I)--0，髫’(￡)0，t∈[0，r)； 戈7(￡)0，￡丁，且lim丁(a)=0， 由于二阶微分方程吨”_．厂(￡，戈)在物理上的重要 a—-∞ 性，已有许多作者利用不同的研究方法对此类问题 lira x一㈦)=+∞． a’∞ 从不同的角度进行了研究II-S1．我们利用常微分方程 中解的存在唯一性定理，解的延拓定理以及Sturm2 定理证明 比较定理讨论以下二阶常微分方程： 我们首先介绍两个重要的引理． f叫”可(t，茗)，‘∈[o，∞)， f11 引理1(Sturm比较定理…)设有两个二阶齐 一 tx(0)_0．石7(0)=a． 次线性微分方程： 解的存在唯一性及解的性质，其中， 厂(￡)+p(￡))，(￡)=0， (2) ．“￡，u)∈C([0，+∞)×[o，+∞)，[o，+∞))，d 孑”(￡)+g(啦(￡)=O， (3) 是一个正常数． 本文的主要结论是： (￡)．则若方程(2)的一非零解在，上有两个相邻零点 定理设函数 t．，t2，则方程(3)的任一非零解在It．，t2]上至少有一 厂(t，u)∈C([0．+∞)×[0，+∞)，[0，+∞))，且满足以 个零点． 下条件： 参见文献[3】，我们知道，二阶Dirichlet边值问 (H1)对于任意的t∈[0，+∞)，，关于／g满足局 部Lipschitz条件． (H2)，(t，0)=0，tE[0，+∞)； (0，T)内有n—1个零点￡．q《…a，。． f(t．It)0，(t，“)E[0，+∞)x(O，+∞)． (H3)lim[业：+∞，￡E[o，+∞)． 利用比较引理我们得到下面引理． 引理2设，TET。0，则对于闭区间m，列，存