二重积分计算技巧总结.pdfVIP

第五章 二重积分 一、常规方法 二重积分的计算重点在于化二重为两个一重积分，转化的方法有直角坐标系的计算、换元法 （一般换元和极坐标换元），在计算之前首先画出积分区域的图。 一、直角坐标系下的二重积分 直角坐标系下的二重积分为： b 上 （1） f(x,y)dydx a 下 y  x 其中上下表示区域的上曲线和下曲线，值得注意的是要把上、下曲线表示成  的形 式，即把 表示成关于 的形式。但是，如果积分区域有几个上或几个下的时候需要将区域 y x “割”一下。这种形式的积分次序为先y后x。 d 右 （2） f(x,y)dxdy c 左 其中左、右表示区域的上曲线和下曲线，值得注意的是要把左、右曲线表示成x y 的   形式，即把 表示成关于 的形式。但是，如果积分区域有几个左或几个右的时候需要将区 x y 域 “割”一下。这种形式的积分次序为先x后y。 在做题时，积分次序由积分区域和被积函数确定，所以需要分析一下积分区域的形状和被积 2 y 函数的形式，比如被积函数为 ，显然先对 积分是不行的，需先对 积分。e y x 二、换元法 （1）一般换元法的二重积分 用换元法求二重积分时重要的是要确定新的积分区域和新的微元。将原区域变换成新区域时 只要区域边界一一对应即可，而微元变换为 ，其中 为雅可比行列式，如 dxdy Jdudv J x x xx uv,    u v  ，则J  即原变量对新变量的导。 y y uv, y y    u v xy xy 例：求e ddxy ，D为x0,y0,xy1所围区域。 D 解：令uxy,vxy. 则 1 1 1 x (uv), y (vu)，则J= 2 2 2 D 的边界一一对应得到新区域 ： D 1 x0 uv 0uv  2 1 y 0 vu 0u v   2 1 1 xy1 uv  vu 1v1     2 2 从而D : xy u xy 1 所以 e ddxy e dudvv   2 D D 例：求抛物线 y mx,y nx2 2 和直线 y x,y x 所围区域的面积， (0mn,0 )。 2 y y u u 解：令u ,v 则x ,y . 2 x x v