2016数学（高教版）授课教案：复习题7B.docVIP

数学（高教版）授课教案 授课日期 5 月 14 日 5月 14 日 授课班级 人文513-13 人文513-14 学期授课计划 的章节顺序： 复习题7 B 授 课 目 的 与 要 求： 1.圆的方程 教学方法：讲练结合 授课主要教具： 新课重点与难点： 重点：熟悉圆的概念和相关公式。 难点：对圆的方程有更加深刻的理解，并且能熟练应用相关公式。 课外作业（练习题与思考题）： P188.2.3.(B组) 任课教师：姚靖 [知识纲要] 了解确定圆的几何要素（圆心和半径、不在同一直线上的三个点等）. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想 体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用. 例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为． ∵圆心在上，故． ∴圆的方程为． 又∵该圆过、两点． ∴ 解之得：，． 所以所求圆的方程为． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即． 又知圆心在直线上，故圆心坐标为 ∴半径． 故所求圆的方程为． 又点到圆心的距离为 ． ∴点在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆． 圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或． 又已知圆的圆心的坐标为，半径为3． 若两圆相切，则或． (1)当时，，或(无解)，故可得． ∴所求圆方程为，或． (2)当时，，或(无解)，故． ∴所求圆的方程为，或． 说明：对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线相切且半径为4，则圆心坐标为，且方程形如．又圆，即，其圆心为，半径为3．若两圆相切，则．故，解之得．所以欲求圆的方程为，或． 上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的． 例3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上． 解：∵圆和直线与相切， ∴圆心在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线和的距离相等． ∴． ∴两直线交角的平分线方程是或． 又∵圆过点，∴圆心只能在直线上． 设圆心 ∵到直线的距离等于， ∴．化简整理得． 解得：或 ∴圆心是，半径为或圆心是，半径为． ∴所求圆的方程为或． 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法． [本章小结] 通过本节学习，大家要系统掌握 1