2016数学基础模块上册教案：函数的单调性 .docVIP

课题：3.3函数的单调性 教学目的： 1. 通过已学过的函数，学会运用函数图象研究函数的性质； 2. 理解函数的单调性的定义； 3. 熟练应用图像和定义判断函数在某一区间上的的单调性； 教学重点：函数单调性的定义及单调函数的图象特征． 教学难点：利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性． 教法与学法：启发式教学，充分发挥学生的主体作用． 教学用具：黑板、计算机多媒体 教学过程： 一．情景引入： 德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据： 时间间隔 记忆保持量 刚刚记忆完毕 100% 20分钟之后 58.2% 1小时之后 44.2% 8-9小时之后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 一个月后 21.1% … … 将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？（学生回答） 这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆. 象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的. 观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的. 这就是我们今天要研究的函数的单调性. 二．学习新课： 任务一、探究函数的单调性概念 观察下列函数的图象,回答当自变量x 的值增加时,函数值f(x)是如何变化的？（学生回答） （1）函数的图象从左到右上升,即当x增大时f(x) 随着增大,所以称函数在R上是增函数. （2）函数在对称轴y轴的左侧下降、右侧上升，即在区间(-∞,0]上当x增大时f(x) 随着减小，在区间（0,+∞)上当 x增大时f(x)随着增大. 所以称函数在(-∞,0] 上是减函数，在（0,+∞)上是增函数. 那么如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？ 考察函数在（0,+∞)上任取x1、x2 ,则，，对任意0x1x2 ，都有 ，所以在区间（0,+∞)上，对任意x1x2 ,都有，即在（0,+∞)上, 当x增大时, 函数值相应地随着增大.这与观察图象所得结果是一致的. 所以在区间（0,+∞)上是增函数. 由此归纳出增函数的定义，类似地得出减函数的定义（学生讨论、回答）. 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是减函数. 任务二、判别函数单调性（定义法） （1）增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降. （2）x1、x2x1x2 . 根据定义判断：函数在(-∞,0)和(0，+∞)上都是减函数. 问：能否说函数在区间(-∞,0)∪(0，+∞)上也是减函数？ 答：不能. 因为不是对任意的x1、x2时，都有. 反例如：－11，－1＝f(-1) f(1)＝1. 如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在区间上具有(严格的)单调性，区间叫做函数f(x)的单调区间. 三．概念应用： 例1．如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 函数是增函数还是减函数？（学生活动） 解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5, -2）,[1，3)上是减函数； 在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数. 注意：（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开，不能用集合中的“∪”连接. （2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可. 例2． 判断函数 f(x) = 2 x+1的单调性。（学生分组讨论、分别演板展示） 证明：设x1、x2上任意两个值，且， 则f(x1) - f(x2) = (2x1+1) －(2x2+1) = 2(x2 － x1) ＜0 即 f(x1) ＜ f(x2 ) 因此，函数 f(x) = 2x+1在区间(-∞，+∞)上是增函数． 总结证明函数单调性的步骤： 1.设值:设任意x1、x2； 2.作差变形:差变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等； 3.判断差符号:确定的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性. 四．课堂练习： 证明函数（k为负的常数）在区间（0,+∞）上是增函数.（学生演练） 五．课堂小结 1.增函数、减函数的定义； 2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到