2016届安徽职高数学复习教案：第二章 不等式12.docVIP

第十二教时 教材：不等式证明综合练习 目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。 过程： 简述不等式证明的几种常用方法 比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造 例一、已知0 x 1, 0 a 1，试比较的大小。 解一： ∵0 1 ( x2 1, ∴ ∴ 解二： ∵0 1 ( x2 1, 1 + x 1, ∴ ∴ ∴ 解三：∵0 x 1, ∴0 1 ( x 1, 1 1 + x 2, ∴ ∴左 ( 右 = ∵0 1 ( x2 1, 且0 a 1 ∴ ∴ 变题：若将a的取值范围改为a 0且a ( 1，其余条件不变。 例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd 证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd 只需证：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy≥ac + bd 证二：（综合法）xy = ≥ 证三：（三角代换法） ∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin(, b = xcos( y2 = c2 + d2 c = ysin(, d = ycos( ∴ac + bd = xysin(sin( + xycos(cos( = xycos(( ( ()≤xy 例三、已知x1, x2均为正数，求证： 证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证： 即： 再平方： 化简整理得： （显然成立） ∴原式成立 证二：（反证法）假设 化简可得： （不可能） ∴原式成立 证三：（构造法）构造矩形ABCD， 使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2 当(APB = (DPC时，AP + PD为最短。 取BC中点M，有(AMB = (DMC, BM = MC = ∴ AP + PD ≥ AM + MD 即： ∴ 作业： 2000版 高二课课练 第6课 1 A B C D P M