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分析力学（参考资料）：2005第六章 第六章 小振动 6． 1．振动的分类和线性振动的概念（参阅教材§6. 1. ） 1．引言 振动的分类（从能量的角度；从微分方程的类型；从自由度的数目） 平衡位置的概念及其分类（稳定、不稳定和随遇）。对振动问题有实际意义的是稳定平 衡位置 保守体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理（勒襄—狄里赫里定理） 平衡位置的不稳定性准则（拉格朗日定理的逆问题）（迄今尚未完全解决） 微振动意即振幅很小，若平衡位置选为原点，则振动的坐标的绝对值很小。( 我 们往往假定振动的速度的绝对值也很小，且为同级小量 ① 。) 2．一个自由度保守体系的自由微振动的数学处理（查阅数学教材） 我们首先考虑水平直线上在一端固定的弹簧的作用下的质点的运动： 2 1 2 Tmx=  , 2 1 2 Vkx= , 2 11 22 2 L mx kx=? 得能量积分 22 11 22 E mx kx=+ （这里要求振幅足够小，以保证在弹性限度内。） 拉格朗日方程： 0mx kx+ = 即 2 0xxω+ = , 其中： 这是简谐振动。 2 /kmω = 简谐振动的解为 ()sinxA tω α=+ , ,A α 为积分常数，由初始条件决定。 事实上，能量积分： 22 1 2 EmAω= , 12E A mω = , A由能量确定， α 由振动的初位相确定。 考虑一般的保守体系的势能函数（坐标原点选在平衡位置），可以展开为级数 ++++= 3 3 2 210 )( xaxaxaVxV 常数项只影响势能的零点能量，一次项提供一个恒力， 只使平衡位置发生平移，对振动无本质影响； 对微振动，高阶项相对很小；均可略去。因而微振动的势能近似为二次项，动力学方程为线性方程 （简谐振动）。例如：单摆的振动，在振幅很小的情况下，是简谐振动。 3．考虑一般的完整，稳定，保守的力学体系在稳定平衡位置附近作微振动（坐标原点选在平 衡位置），其动能可以表为广义速度的齐二次式（且各项系数均为常数 ② ）；其势能可以表为广义坐 标的齐二次式（各项系数也是常数）。动力学 方程为线性方程（简谐振动） 。教材 174—180 页讨论了两个自由度的情形，推广到有限多个自由度 的情形也不困难。 【思考】159 页例 2 第（ 2）解法，如果作微振动，情况如何？ 6． 1．两个自由度保守体系的自由振动（参阅教材§6. 2. ） 1．先看一个实例（教材 178 页例 1）：双单摆。 取 12 ,θ θ 为广义坐标，通过拉格朗日函数得到动力学方程：（也可利用牛顿动力学方程） ① 根据能量守恒， 2 max max 11 22 Emx kx== 2 ；因此作微振动时 x 也是小量，而且我们可以假定， x 和 x 是同阶的小量。 ② 在动能只保留到二次项的情况下，各项系数只保留零次项，即常数。 1 ()() ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++ ? ? ? ? ? ? ++= 2 21 2 21 2 1 2 coscossinsin 2 1 2 1 θθθθθ ll dt d ll dt d mmlT  ()[ ] 2121 2 2 2 1 22 1 2 cos2 2 1 2 1 θθθθθθθ ?+++=  mlml ( ) 211 coscoscos θθθ llmgmglV +??= 注意：考虑微振动，平衡位置 ∴== ,0 21 θθ 21 ,θθ 都是小量，保留二阶小量，得 () 21 2 2 2 1 2 22 2 1 θθθθ  ++= mlT ， ( ) mglmglV 32 2 1 2 2 2 1 ?+= θθ （势能的最后一 项为常数项，可略去。以下详见教材 179 页。 ） 可得拉格朗日方程 ( ) 022 121 =++ θθθ gl  ( ) 12 2 0lgθθ θ+ +=   这是二阶线性齐次常系数微分方程组，解必有 ( )αωθ +?= tA ii sin 2,1=i ③ 代入方程组，得 ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ?+? =? ? ? ? ? ? ? ? 0 02 2 2 1 2 2 2 1 2 A l g A AA l g ωω ωω 利用久期方程求本征值 ω， () () 2 1 2 2 22 22 g l g l ω ω =? =+ 进一步求本征矢量 ( ) ( ) () () 11 21 22 21 2 2 AA A A = =? 由线性齐次方程解的可叠加性， () () 2 1 sin k ii kk k Atθωα = = += ∑ 1, 2i = 有四个积分常数 ( ) 1 , k k A α ，由初始条件决定。（另两个常