话说分数_上_张奠宙.pdfVIP

46 话说分数(上) ◇张奠宙 德国数学家克罗内克有一句名 分数是我们认识自然数以后 对。现在的教科书,对于数的扩充只 1. 言:“上帝创造了自然数,其余都是 的 “新朋友”。 字不提,连 “分数是新朋友”这样的 人造的。”人类从蛮荒时代开始结绳 各国的分数教学,多半是从 “切 话也不说,应该说是一种数学思想 记数。随着分配猎获物的需要,数的 大饼”或 “分蛋糕”开始的。如,将一 方法教育上的缺失。 加减乘除也很 “自然”地开始使用, 个圆形大饼平均切成四块,每块是 分数是一个特殊的 “大家庭”。 2. 于是有了自然数。后来因减法的需 整个大饼的 1,读作四分之一。一 分数运算之难,在于通分。小学 要出现了负数,因除法的封闭性引 4 生不知道为什么要扩分、通分、约 入分数,更因开方的通行无阻出现 般地,将一个单位平均分为若干份, 分。明明是同一个分数,老是化来化 实数和复数,这些就都不是 “自然” 表示这样的一份或几份的数称为分 去,像变戏法似的,难以捉摸。(注: 的了。 数。这种用 “份数”来定义的分数,易 1 2 4 扩分是指将 写成 、 ……这 第一个 “人为”的数是正分数。 懂好学。不过,把它作为教学的切入 2 4 8 从逻辑上看,应该是先有负整数, 点可以,但其内涵却很局限,尤其不 一说法在香港通行,大陆不大使用。 再有分数,但是历史顺序却正好相 可形成思维定势。 其实,它和约分运算一样,彼此对立 反。负数最早出现于中国的 《九章 分数的真正来源在于自然数除 统一,有其独立使用的价值) 算术》(约公元前 世纪成书),而 法的推广。一个大饼,由四个人平均 其实,这里用到一个很深刻的 1 有历史记录的分数则出现在古埃 分,得到有确定大小的一块大饼。对 思想:等价类。一个分数,和它的所 及的纸草书上,距今约 4000年。 于这个客观存在的量,依除法的意 有扩分和约分相等: 《九章算术》也叙述了完整的分数 义,应该是 1÷4所得的商。可是,这 1 2 3 4 = = = …… 知识。中文数学名词 “三分之一” 种除数大于被除数的除法,以前不 2 4 6 8 “几分之几”,确实既精确又达意, 能除,因而也没有 “商”。于是,“创 这些数构成一个由无限多个分 比起英文的 “ – (一和第 新”的机会来了。我们把已经认识的 数组成的等价类,其中的每两个分 one third 三)”来,要容易理解得多。东亚许 自然数当做老朋友,把 1÷4的商看 数彼此相等,但是形式却不同。这是 多使用汉字的国家和地区,学生学