浙江师范大学《高等数学》D10_4重积分的应用.pptVIP

第四节 1. 能用重积分解决的实际问题的特点: 例2. 备用题 提示: 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 重积分的应用 第十章 所求量是 对区域具有可加性 —— 用微元分析法 (元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点: 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法: 一、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d? , (称为面积元素) 则 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 且 例1. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面为 球面面积元素为 方法2 利用直角坐标方程. 上半球面方程 方法1利用球坐标方程. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km, 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km ) 解: 建立坐标系如图, 记覆盖曲面? 的 方程为 卫星覆盖面积为 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为 由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔 角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球 全表面. 二、质心 设空间有n个质点, 其质量分别 由力学知, 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 ? , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 质点系的总质量 将 ? 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如, 令各小区域的最大直径 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 的质点, 即得该物体的质心坐标. 此质点 在第 k 块上任取一点 同理可得 则得形心坐标： 均匀空间区域的质心叫做空间区域所占空间图形的形心 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片, ( A 为D 的面积) 得D 的形心坐标: 则它的质心坐标为 其面密度 — 质点系对 x 轴的静矩 — 质点系对 y 轴的静矩 均匀平面薄片的质心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心 例3. 求位于两圆 和 的质心. 解: 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 三、转动惯量 设物体占有空间区域 ? , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转动惯量. ,G 为引力常数 四、引力 设物体占有空间区域 ?, 物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为 其密度函数 引力元素在三坐标轴上分量为 其中 若求 xOy 面上的平面薄片D, 对点P0处的单位质量质点 的引力分量, 因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为 即可. 例如, 其中: 例7. 求半径为R的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 点 为球的质量 作业 P177 1，3，6, 11, 13 ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其 侧面满足方程 设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为 已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研) 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 * *