浙江师范大学《高等数学》D11_5对坐标的曲面积分.pptVIP

第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 指定了侧的曲面叫有向曲面, 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 对一般的有向曲面? , 二、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 例3. 计算曲面积分 内容小结 性质: 2. 常用计算公式及方法 当 思考与练习 P231 题3(3). 设 备用题 求 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 对坐标的曲面积分 第十一章 ? 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 (单侧曲面的典型) 其方向用法向量指向 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 表示 : ? 设 ? 为有向曲面, 其面元 在 xOy 面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面? 的流量? . 分析: 若? 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: 单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为S、斜高为|v|的斜柱体. 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 , 则 2.对坐标的曲面积分的定义 设?为光滑的有向曲面? 函数R(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n块小曲面? ?S1? ?S2? ? ? ?? ?Sn(?Si也代表曲面面积)? ?Si在xOy面上的投影为(?Si)xy? (?i, ?i, ?i )是?Si上任意取定的一点? 若极限 总存在? 则称此极限为函数R(x? y? z)在有向曲面?上对坐标x、 对坐标的曲面积分的定义 函数R(x? y? z)在有向曲面?上对坐标x、y的曲面积分? 函数P(x? y? z)在有向曲面?上对坐标y、z的曲面积分? 函数Q(x? y? z)在有向曲面?上对坐标z、x的曲面积分? 上述曲面积分也称为第二类曲面积分? 其中 P、Q、R叫做被积函数? ?叫做积分曲面? 对坐标的曲面积分的简写形式 在应用上出现较多的是 为简便起见? 这种合起来的形式简记为 3.对坐标的曲面积分的性质 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质? (1)如果把S分成S1和S2? 则 (2)设S是有向曲面? S?表示与S取相反侧的有向曲面? 则 讨论? 如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？ 设积分曲面?由方程z?z(x? y)给出的? ?在xOy面上的投影区域为Dxy ? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数R(x? y? z)在?上连续? 则有 其中当?取上侧时? 积分前取“?”? 当?取下侧时? 积分前取“?”? 应注意的问题: (3)曲面S取哪一侧. (2)向哪个坐标面投影; (1)曲面S用什么方程表示; (4)积分前取什么符号. 注意:对坐标的曲面积分与所取的侧有关。 方体?的整个表面的外侧? ??{(x? y? z)|0?x?a? 0?y?b? 0?z?c}? 把?的上下面分别记为?1和?2? 前后面分别记为?3和?4? 左右面分别记为?5和?6? 解 除?3、?4外? 其余四片曲面 在yOz 面上的投影为零? 因此 ?a2bc? 类似地可得 于是所求曲面积分为(a?b?c)abc? 外侧在x?0? y?0的部分? 把有向曲面?分成上下两部分? 解 ?1和?2在xOy面上的投影区域都是 Dxy ? x2?y2?1(x?0? y?0)? 令 向量形式 ( A 在 n 上的投影) 其中? 解: 利用两类曲面积分的联系, 有 ∴ 原式 = 旋转抛物面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. ∴ 原式 = 原式 = 定义: 1. 两类曲面积分及其联系 联系: 思考: 的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ? 两类曲面积分的定义一个与 ? 的方向无关, 一个与? 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 二重积分 (1) 统一积分变量 代入曲面方程 (方程不同时分片积分) (2) 积