浙江师范大学《高等数学》D10-2二重积分计算.pptVIP

一、利用直角坐标计算二重积分 说明: 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 二． 利用极坐标计算二重积分 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 计算步骤及注意事项 作业 思考与练习 2. 交换积分顺序 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第二节 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 X??型区域、 Y ??型区域 直角坐标下二重积分的计算公式 应注意的问题 极坐标下二重积分的计算公式 X??型区域： x y O a b y=j1(x) y=j2(x) x y O a b y=j1(x) y=j2(x) D ： j1(x)?y?j2(x)，a?x?b ． x y O 4 2 D x=y2 x=2y 例如： 特点：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点. d c O x x=y1(y) x=y2(y) y D ： y1(y)?x?y2(y)，c?y?d ． Y ??型区域： d c O x x=y1(y) x=y2(y) y x y O 4 2 D x=y2 x=2y 例如： D：0 ? y ?2， y2 ? x ?2y． 特点：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点. 若积分域较复杂,可将它分成若干 X - 型域或Y - 型域 , 则 练习：把下列区域表为X--型区域和Y--型区域： y O x 1 D1 (x-1)2+y2=1 y O x x=y2 y=x2 D2 D3 x y O x2+y2=4 x2+y2=1 -1 1 4 x=y2 x= y +2 x y O 1 曲顶柱体体积的计算： 设f(x，y)?0，则以曲面z? f(x，y)为顶， 以闭区域 D 为底的 曲顶柱体的体积为 ． x y z O a b z?f(x, y) y=j1(x) y=j2(x) x0 A(x0) D 根据求截面面积为已知的立体体 积的方法，曲顶柱体的体积为 设 D 为X??型区域： D ： j1(x)?y?j2(x)，a?x?b ． 任意取一点x0 ?[a，b] ，平面x?x0 截曲顶柱体得一截面， 其面积为 ． ． 类似地，如果区域D 为Y ??型区域： D ： y1(y)?x?y2(y)，c?y?d .， 或记为 二重积分的计算公式： 设 D 为X??型区域： D ： j1(x)?y?j2(x)，a?x?b ． 则有 则有 二次积分 成的闭区域． 解法1，画出区域D， 可把D看成是X??型区域： 1?x?2，1?y?x ． ． O x y 1 2 y=x 1 2 (x, y) (x, 1) x 于是 1?y?x 1?x?2 例1 也可以把D看成是Y??型区域： 1?y?2，y?x?2 ． 成的闭区域． 解法2，画出区域D， O x y 1 2 y=x 1 2 (x, y) (2, y) 1?y?2 y?x?2 y ． 于是 例1 应注意的问题： ? ? 已知 比较 已知 比较 及y?x 所围成的闭区域． 解 画出区域D， 于是 可把D看成是X??型区域：?1?x?1，x?y?1． y x O -1 1 -1 (x, 1) (x, x) 1 ． y=x 例2 及y?x 所围成的闭区域． 解 画出区域D， 于是 还可把D看成是Y??型区域： ?1?y?1，-1?x?y． y x O -1 1 -1 y=x 1 (-1, y) (y, y) 哪个二次积分容易计算？ 可把D看成是X??型区域：?1?x?1，x?y?1． 于是又有 ． 例2 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序. 所围成的闭区域． 解 画出区域D，D 可表为D?D1+D2： -1 2 4 x=y2 x= y +2 x y O 1 D1 D2 ． x x 例3 解 画出区域D， -1 2 4 x=y2 x= y +2 x y O D 也可表为：?1?y?2，y2?x?y?2． 于是 y 所围成的闭区域． 例3 例4